Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями.
Фаза колебаний
Определение
Колебательные движения имеют много общих свойств и описываются одинаковыми законами, имея разную физическую природу. Самой важной характеристикой колебаний является их многократная повторяемость через одинаковые промежутки времени. Колебания встречаются во множестве разных физических явлений.
Любую систему, которая может совершать колебания описывают некоторым физическим параметром, отклонение которого от равновесия зависит от времени по периодическому или близкому к периодическому закону. При рассмотрении механических колебаний, например, рассматривая колебания пружинного маятника, такой переменной величиной является смещение груза от положения равновесия и его скорость.
Собственными колебаниями называют колебания, в которых колебательную систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Колебания в такой системе совершаются без воздействия на систему внешних сил.
Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых переменная величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Разные процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда они описываются уравнением:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний. Величина $s$ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.
Определение фазы колебаний
Определение
Весь аргумент периодической функции (у нас косинуса:$\ ({\omega }_0t+\varphi )$), которая описывает процесс колебаний, называют фазой колебаний.
Значение фазы при $t=0$, то есть $\varphi $ - носит название начальной фазы.
Единицей измерения фазы является радиан (рад).
Зная амплитуду колебаний и фазу, используя уравнение (1), определяют механическое состояние системы.
Значения амплитуды и начальной фазы задаются в начальных условиях, то есть они зависят от способа возбуждения колебаний.
Фазы колеблющейся величины, ее скорости и ускорения
Найдем первую производную от параметра, который совершает гармонические колебания:
\[\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}\left[A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\right]=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)=\ }A{\omega }_0{cos \left({\omega }_0t+\varphi +\frac{\pi }{2}\right)\left(2\right).\ }\]Вторая производная от этого же параметра представлена функцией:
\[\frac{d^2s}{dt^2}=-A{{\omega }_0}^2{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{{\omega }_0}^2cos\left({\omega }_0t+\varphi +\pi \right)\left(3\right).\ }\]В выражениях (2) и (3) мы видим, что скорость и ускорение переменной величины $s$ совершают гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды этих колебаний равны:
\[{\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=A{\omega }_0;;\ {\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)}_{max}=A{{\omega }_0}^2\left(4\right).\]Фаза скорости (${\omega }_0t+\varphi +\frac{\pi }{2}$) отличается от фазы ускорения (${\omega }_0t+\varphi +\pi $) на величину равную $\frac{\pi }{2}$. Фаза ускорения отлична от фазы колеблющейся величины на $\pi $. Это значит, что в тот момент времени, когда $s=0$ скорость ее изменения ($\frac{ds}{dt}$) достигает максимального значения. При $s$ равной максимальному отрицательному значению ее ускорение становится наибольшим положительным.
Метод векторных диаграмм
Гармонические колебания можно изображать графически при помощи метода векторных диаграмм (метод вращающейся амплитуды). С этой целью из некоторой точки О на оси X под углом $\varphi $, который равен начальной фазе, откладывают вектор $\overline{A}$. Длина этого вектора равна амплитуде ($A$) колебаний. Если этот вектор приводится во вращение с угловой скоростью ${\omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$, при этом закон колеблющейся величины будет таким, как представляет уравнение (1). Получается, что гармонические колебания можно изобразить при помощи проекции на некоторую ось вектора амплитуды $\overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $\varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${\omega }_0$ вокруг избранной точки.
Примеры задач на фазу колебаний
Пример 1
Задание. Каким будет отношение кинетической энергии ($E_k$) материальной точки, совершающей колебания вдоль оси X по гармоническому закону, к ее потенциальной энергии ($E_p$), если фаза колебаний равна ${\omega }_0t+\varphi ?$\textit{}
Решение. Уравнение материальной точки, совершающей гармонические колебания, запишем как:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\left(1.1\right).\ }\]Найдем скорость движения этой точки по оси X:
\[v=\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(1.2\right).\]Ускорение рассматриваемой точки будет следующей функцией от времени:
\[a=\frac{dv}{dt}=-A{{\omega }_0}^2{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }=-A{{\omega }_0}^2x\left(1.3\right).\]Кинетическая энергия точки получается равной:
\[E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{mA^2{\omega }^2_0\ {sin}^2\left({\omega }_0t+\varphi \right)}{2}\left(1.4\right).\]Гармонические колебания точка совершает под действием консервативной силы, следовательно, можно воспользоваться формулой для нахождения потенциальной энергии:
\[E_p=-\int\limits^x_0{Fdx}=-\int\limits^x_0{m\left(-A{{\omega }_0}^2x\right)dx=\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}}=\frac{m{{\omega }_0}^2A^2{{cos}^2 \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }}{2}\left(1.5\right).\]Используя выражения (1.4) и (1.5) найдем искомое отношение:
\[\frac{E_k}{E_p}=\frac{mA^2{\omega }^2_0\ {sin}^2\left({\omega }_0t+\varphi \right)}{m{{\omega }_0}^2A^2{{cos}^2 \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }}={tg}^2\left({\omega }_0t+\varphi \right).\]Ответ. $\frac{E_k}{E_p}={tg}^2\left({\omega }_0t+\varphi \right)$
Пример 2
Задание. Пружинный маятник (рис.2) совершает колебания, амплитуда которых равна $A$. В момент времени, когда возвращающая сила достигает величины $F$ в первый раз, потенциальная энергия груза на пружине равна $E_p$. Чему равна фаза в этот момент времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.
Решение. Сила, под воздействием которой пружинный маятник возвращается в положение равновесия - это сила упругости, которая действует на груз со стороны упругой пружины. Считая колебания малыми можно записать закон Гука для возвращающей силы:
\[F=-kx\ \left(2.1\right).\]где смешение груза из положения равновесия определяете гармоническим законом:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\cos ({\omega }_0t)\ }\left(2.2\right),\ }\]так как по условию $\varphi =0$. Тогда выражение (2.1) преобразуется к виду:
\[F=-kA{cos \left({\omega }_0t\right)\ }\ \left(2.3\right).\]Потенциальную энергию деформированной пружины определим как:
\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{kA^2{cos}^2\left({\omega }_0t\right)}{2}\left(2.4\right).\]Найдем отношение потенциальной энергии ($E_p$) к силе $\left(F\right),\ выразим\ искомую\ фазу$:
\[\frac{E_p}{F}=-\frac{kA^2{cos}^2\left({\omega }_0t\right)}{2kA{cos \left({\omega }_0t\right)\ }}\to \frac{E_p}{F}=-\frac{A}{2}{cos \left({\omega }_0t\right)\to {\omega }_0t\ }=arc{\cos \left(-\frac{2E_p}{FA}\right).\ }\]Ответ. ${\omega }_0t=arc{\cos \left(-\frac{2E_p}{FA}\right) }$
Читать дальше: центр масс.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
