Задание. Какой будет сила натяжения нерастяжимой нити, связывающей два груза находящихся на горизонтальной гладкой поверхности (рис.1), если массы грузов равны $m_1$ и $m_2.\ $К одному из грузов приложена горизонтальная сила $F.$ Трение брусков о поверхность не учитывать. Нить считать невесомой.

Решение. Рассмотрим силы, которые приложены к первому грузу, запишем второй закон Ньютона для этого тела:

\[\overline{F}+m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+{\overline{T}}_1=m_1\overline{a}\left(1.1\right),\]

$m_1\overline{g}$ - сила тяжести, действующая на первый груз; ${\overline{N}}_1$ - сила реакции горизонтальной опоры; ${\overline{T}}_1$ - сила натяжения нити.

Проектируя на оси X и Y уравнение (1.1) получаем:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:F-T_1=m_1a\left(1.2\right). \\ m_1g=N_1\left(1.3\right). \end{array} \right.\]

Рассмотрим силы, действующие на второй груз, запишем второй закон Ньютона для этих сил:

\[\overline{F}+m_2\overline{g}+{\overline{N}}_2+{\overline{T}}_2=m_2\overline{a}\left(1.4\right).\]

В проекциях на оси X и Y получаем систему уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:T_2=m_2a\left(1.5\right). \\ m_2g=N_2\left(1.6\right). \end{array} \right.\]

Так как нить считаем невесомой, то имеем:

\[T_1=T_2=T\left(1.7\right).\]

Из уравнения (1.5) выразим ускорение и подставим его в (1.2)получим величину силы натяжения нити:

\[F-T=m_1\frac{T}{m_2}\to T=\frac{Fm_2}{m_1+m_2}.\]

Ответ. $T=\frac{Fm_2}{m_1+m_2}$

   

Задание. К нерастяжимой нити подвешен массивный шарик. Шарик подняли так, что нить приняла горизонтальное положение, затем шарик отпустили. Какова сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия? Какой угол составляет нить с вертикалью, если сила натяжения равна силе тяжести, действующая на шарик?

Решение. Сделаем рисунок.

1) Силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия (положение А на рис.2): сила тяжести и сила натяжения нити. Для них запишем второй закон Ньютона:

\[m\overline{g}+\overline{N}=m\overline{a}\left(2.1\right).\]

Запишем проекцию выражения (2.1) на ось Y:

\[N-mg=ma_n\left(2.2\right),\]

где шарик движется с центростремительным ускорением, равным:

\[a_n=\frac{v^2}{l}\left(2.3\right),\]

$l$ - длина нити; $v$ - величина скорости движения шарика в точке А.

Скорость $v$ найдем из закона сохранения энергии (см. рис.2 $h=l$), который запишем для положений B (максимальная потенциальная энергия шара) и A (максимальная кинетическая энергия шара):

\[mgl=m\frac{v^2}{2}\to v^2=2gl\ \left(2.4\right).\]

Выразим силу натяжения нити из (2.2), подставим найденное ускорение, учитывая (2.4):

\[N=mg-m\frac{v^2}{l}=mg+m\frac{2gl}{l}=3mg.\]

2)

Ось Y направим по нити, ось X перпендикулярно оси Y (рис.3).

Запишем проекцию уравнения (2.1) на новую ось Y:

\[N-mg{\cos \alpha \ }=ma_{n\ }\left(2.5\right).\]

Выразим силу натяжения нити:

\[N=ma_{n\ }+mg{\cos \alpha \ }\left(2.6\right).\]

Учитывая (2.3), получим:

\[N=m\frac{v^2}{l}+mg{\cos \alpha \ }\left(2.7\right).\]

Потенциальная энергия шарика в положении C равна $E_p=mgl{\cos \alpha \ }$, она переходит полностью в кинетическую энергию положения А ($E_k=m\frac{v^2}{2}$):

\[m\frac{v^2}{2}=mgl{\cos \alpha \ }\left(2.8\right).\]

Из (2.6) выразим $v^2$, имеем:

\[v^2=2gl{\cos \alpha \ }\left(2.9\right).\]

Подставим результат (2.9) в формулу (2.7), получили:

\[N=m\frac{2gl{cos \alpha \ }}{l}+mg{\cos \alpha \ }\ \left(2.10\right).\]

Приравниваем по условию силу натяжения нити к силе тяжести, выражаем величину угла:

\[mg=m\frac{2gl{cos \alpha \ }}{l}+mg{\cos \alpha \ }\to 1=3{cos \alpha \to \alpha =arc{\cos \frac{1}{3}\ }\ }.\]

Ответ. 1) $N=3mg$. 2) $\alpha =arc{\cos \frac{1}{3}\ }$