Движение по окружности, теория и онлайн калькуляторы
Движение по окружности
Значимым частным случаем перемещения материальной точки по заданной траектории служит движение по окружности. Местоположение точки на окружности можно задавать не при помощи расстояния от некоторой начальной точки (допустим A), а с помощью угла $\varphi $, который образуют радиусы, которые провели из центра окружности (O) к рассматриваемой частице (точка M) и из О в точку начала отсчета (A) (рис.1).
Скорость при движении по окружности
При движении по окружности вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($\omega $), которая характеризует быстроту изменения угла $\varphi $:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(1\right).\]
Определим, какова связь между линейной и угловой скоростями. Длину дуги АМ ($s$) (рис.1) можно найти как:
\[s=R\varphi \left(2\right),\]
тогда изменение длины дуги за время$\ \Delta t$ равно$\ \Delta s$:
\[\Delta s=R\Delta \varphi \ \left(3\right).\]
Найдем отношение $\frac{\Delta s}{\Delta t}$, разделив обе части выражения (3) на $\Delta t$:
\[\frac{\Delta s}{\Delta t}=R\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ \left(4\right).\]
Перейдем к пределу в правой и левой частях равенства (4) при $\Delta t\to 0$, получим:
\[{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\ }=R{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ }\to v=R\omega \left(5\right).\]
Ускорение материальной точки при движении по окружности
При движении по окружности (как при любом неравномерном криволинейном движении) ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (${\overline{a}}_{\tau }$), которое направлено по касательной к траектории движения точки и характеризующее быстроту изменения модуля скорости $v$ и центростремительной ускорение (${\overline{a}}_n$), направленное к центру кривизны траектории, определяющее быстроту изменения направления скорости.
Величина нормальной (центростремительной) компоненты ускорения вычисляется при помощи формулы:
\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(6\right).\]
При равномерном перемещении по окружности величина центростремительного ускорения постоянна ($a_n=const).\ $Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.
Тангенциальное ускорение при движении по окружности вычисляют, как и при любом криволинейном движении:
\[{\overline{a}}_{\tau }=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(7\right).\]
Период и частота - характеристики равномерного движения по окружности
Равномерное движение по окружности можно характеризовать при помощи такой физической величины как период обращения ($T$),
который определяют как время совершения материальной точкой полного оборота. Используют и частоту ($\nu$)
обращения, которую определяют как величину обратную периоду, равную количеству оборотов за единицу времени:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(8\right).\]
При равномерном движении по окружности угловая скорость, частота и период связаны как:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \left(9\right).\]
Формула (9) дает возможность центростремительное ускорение определить как:
\[a_n=\frac{4{\pi }^2}{T^2}R=4{\pi }^2{\nu }^2R\ \left(10\right).\]
Отметим, что при неравномерном движении по окружности период ($T$) и частота ($\nu$) свой смысл теряют, о них можно говорить только при равномерном движении по окружности.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Центростремительное ускорение материальной точки, перемещающейся по окружности, имеющей радиус R, задано уравнением: $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$. Каково тангенциальное ускорение точки? Как направлены ускорения точки?
Решение. Сделаем рисунок.
Направления ускорений точки изображены на рис.2. ${\overline{a}}_n$ направлено к центру окружности; ${\overline{a}}_{\tau }$ - совпадает с направлением скорости движения точки, по касательной к окружности, направление вектора полного ускорения ($\overline{a}$) находим по правилу параллелограмма, так как:
\[\overline{a}={\overline{a}}_n+{\overline{a}}_{\tau }\left(1.1\right).\]
Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности можно найти как:
\[a_n=\frac{v^2}{R}\left(1.2\right).\]
Следовательно, скорость точки:
\[v=\sqrt{a_nR}\left(1.3\right).\]
Используя заданный в условии задачи закон изменения нормального ускорения $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$, выражение (1.3) преобразуем к виду:
\[v=\sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}\left(1.4\right).\]
Величина тангенциального ускорения определена как:
\[a_{\tau }=\frac{dv}{dt}\ \left(1.5\right).\]
Подставим правую часть выражения (1.4) в уравнение (1.5), имеем:
\[a_{\tau }=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{\left(A+Bt+Ct^2\right)R}\right)=\sqrt{R}\frac{B+2Ct}{2\sqrt{A+Bt+Ct^2}}.\]
Ответ. $a_{\tau }=\sqrt{R}\frac{B+2Ct}{2\sqrt{A+Bt+Ct^2}}$
Пример 2
Задание. Чему равен путь (s), который проходит точка в примере 1 за время $t_1$, если A= 1 $\frac{м}{с^2}$, $B=6\ \frac{м}{с^3}$; $С=9\frac{м}{с^4}$.
Решение. Путь, пройденный точкой можно найти как:
\[s=\int\limits^{t_1}_0{vdt\left(2.1\right).}\]
Используем выражение для величины скорости, которое мы получили в первом примере:
\[v=\sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}\left(2.2\right).\]
Подставим известные нам из условия задачи коэффициенты, преобразуем полученное выражение $v\ \left(t\right):$
\[v=\sqrt{(1+6t+9t^2)R}=\sqrt{R\ {(1+3t)}^2}=\left(1+3t\right)\sqrt{R}\left(2.3\right).\]
Вычислим интеграл (2.1), принимая во внимание выражение (2.3):
\[s=\int\limits^{t_1}_0{\left(1+3t\right)\sqrt{R}dt=\sqrt{R}\int\limits^{t_1}_0{\left(1+3t\right)dt=\sqrt{R}}\left(t_1+\frac{3}{2}{t_1}^2\right).}\]
Ответ. $s=\sqrt{R}\left(t_1+\frac{3}{2}{t_1}^2\right)$
Читать дальше: жесткость пружины.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 467 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
