• Главная
• Справочник
• Физика

Вынужденные колебания

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

\[F=F_0{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(1\right).\]

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

\[\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }^2_0x=\frac{F_0}{m}{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(2\right),\]

где $x$ - координата; $\delta $ - коэффициент затухания; ${\omega }_0$ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $\delta $=0, то ${\omega }_{0\ }$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

\[\ddot{q}+2\delta \dot{q}+{\omega }^2_0q=\frac{U_m}{L}{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(3\right),\]

где $q$ - заряд; $\delta =\frac{R}{2L}$ - коэффициент затухания; ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$; $U=U_m{\cos \left(\omega t\right)\ }$ - внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

\[\frac{d^2s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+{\omega }^2_0s=x_0{cos \left(\omega t\right)\ }\left(4\right),\]

где $s$ - колеблющийся параметр; $x_0=\frac{F_0}{m}$ если колебания механические ($x_0=\frac{U_m}{L}-\ в\ случае\ электрических\ колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

\[\frac{d^2s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+{\omega }^2_0s=0\ \left(5\right).\]

Его общее решение:

\[s_1=A_0e^{-\delta t}{cos \left({\omega }_1t+{\varphi }_1\right)\left(6\right),\ }\]

где $A_0$ - начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

\[s=A{\cos (\omega t-\varphi )\ }\left(7\right),\]

где $A=\frac{x_0}{\sqrt{{\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}} (8)$; $\varphi =arc\ tg\ \frac{2\delta \omega }{{\omega }^2_0-{\omega }^2} (9)$.

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $\omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $\omega $.

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(\omega )$. Взяв производную $\frac{dA}{d\omega }$ и приравняв ее к нулю получим:

\[-4\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)\omega +8{\delta }^2\omega =0\ \left(10\right).\]

Равенство (10) справедливо при:

\[\left\{ \begin{array}{c} {\omega }_1=0;; \\ {\omega }_2=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2;;} \\ {\omega }_3=-\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2.} \end{array} \right.\]

Получается, что резонансная частота (${\omega }_r$) равна:

\[{\omega }_r=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2}\left(11\right).\]

При ${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний ${\omega }_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

\[A_r=\frac{x_0}{2\delta \sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}\left(12\right).\]

При небольшом затухании колебаний (если ${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

\[A_r=\frac{x_0}{2\delta {\omega }_0}=Q\frac{x_0}{{\omega }^2_0}\left(13\right),\]

где $Q=\frac{{\omega }_0}{2\delta }$ - добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Примеры задач с решением

Читать дальше: гидростатическое давление.