Линию, по которой происходит движение материальной точки, называют траекторией движения.
Траектория
Движение можно описывать аналитически или графическим способом. Графическое описание движения является максимально наглядным. Так, например, отложим по горизонтальной оси моменты времени, по вертикальной оси соответствующие в координаты местоположения тела. При соединении точек получим график изменения координаты в зависимости от времени.
Описать движение материальной точки - это значит указать ее положение в любой момент времени, или иначе: определить для каждого момента времени точку системы отсчета, в которой материальная точка находится в данный момент времени. В своем движении материальная точка (или тело) проходит непрерывную последовательность точек системы отсчета. Данная последовательность точек называется траекторией движения.
Определение траектории
Определение
Траектория зависит от системы отсчета.
Слово траектория латинского происхождения - означает относящийся к перемещению. Траектория может быть прямой и кривой линией. Если начало и конец траектории совпадают, то такую траекторию называют замкнутой.
Путь - это скалярная величина, равная длине траектории.
Положение точек системы отсчета можно характеризовать разными способами. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела. Среди способов описания движения выделим:
- Описание движения в координатной форме. При этом способе описания выбирается система координат. В этой системе положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты изменяются во времени (являются функциями времени). Описать движение точки - это значит указать эти функции: \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(1\right).\]
- Описание движения в векторной форме. При таком описании движения положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline{r}$) по отношению точки, которую принимают за начальную. В данном случае вводят не систему координат, а точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: \[\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)\left(2\right).\]
Формула (2) определяет векторную функцию от скалярного аргумента.
- Третьим способом описания движения назовем описание при помощи параметров траектории.
Описание движения при помощи параметров траектории
Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:
\[s=s\left(t\right)\left(3\right).\]Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:
\[s=At\left(4\right),\]где $s$ - путь точки по траектории; $t$ - время движения; $A$ - коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.
Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.
Вектор перемещения
Вектором перемещения ($\Delta \overline{r}$) называют вектор, который соединяет начальную и конечную точки траектории, в которых материальная точка находилась в моменты времени $t_1$ и $t_2=t_1+\Delta t$. Длина данного вектора равна расстоянию между конечной и начальной точками. Он направлен от начальной к конечной точке (рис.1).
Величина перемещения может быть равна пути (например, при прямолинейном движении), но никогда модуль перемещения не бывает больше пути.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. При каком перемещении тела траекторией его движения является прямая линия? Что Вы можете сказать о векторах скорости и ускорения при таком движении?
Решение. Движение тела называется прямолинейным, если траекторией его движения является прямая линия. При прямолинейном движении направление скорости не изменяется, величина скорости может быть переменной. Ускорение при прямолинейном движении может обличаться от нуля, но равна нулю нормальная (центростремительная) составляющая ускорения, которая отвечает на изменение направления вектора скорости:
\[a_n=0.\]
Пример 2
Задание. Траекторией движения точки М является равномерно свертывающаяся спираль (рис.2). Точка движется равномерно. Как изменяется модуль ускорения точки?
Решение. В качестве основы решения задачи используем формулу для вычисления модуля ускорения при криволинейном движении:
\[a=\sqrt{a^2_{\tau }+a^2_n}\left(2.1\right),\]где $a_{\tau }$ - тангенциальное ускорение точки, отвечающее за изменение скорости по модулю; $a_n$ - нормальное (центростремительное) ускорение, отвечающее за изменение скорости по направлению.
По условию задачи точка движется по своей траектории равномерно, следовательно, тангенциальное ускорение ее равно нулю:
\[a_{\tau }=0\ \left(2.2\right).\]Получаем, что в нашем случае:
\[a=a_n\left(2.3\right).\]Величина нормального ускорения может быть найдена как:
\[a_n=\frac{v^2}{R}\left(2.4\right),\]где $v$ - величина скорости движения точки (еще раз подчеркнем, что она не изменяется); $R$ - радиус кривизны траектории движения точки. На рис. 2 мы видим, что при указанном движении $R$ уменьшается, значит, ускорение $a_n$ увеличивается. Из (2.3) делаем вывод, что при равномерном движении по спирали ускорение точки растет.
Ответ. Увеличивается
Читать дальше: третий закон Ньютона.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
