Средней скоростью ($\left\langle v\right\rangle $) материальной точки за промежуток времени $\Delta t$ называют физическую величину, которая равна отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{\Delta x}{\Delta t}\left(3\right).\]Средняя скорость
Перемещение материальной точки
Пусть материальная точка совершает движение по оси X все время в одном направлении. Тогда перемещением этой материальной точки за отрезок времени $\Delta t=t_2-t_1$ будет отрезок $\Delta x=x_2-x_1$. Если материальная точка все время своего движения перемещалась в одном направлении, то пройденный путь ($\Delta s$) равен по модулю величине перемещения:
\[\Delta s=\left|\Delta x\right|\left(1\right).\]Если точка движется сначала в одном направлении, затем останавливается и движется в противоположном направлении, (например, так движется тело брошенное вертикально вверх) то путь равен сумме модулей перемещений в обоих направлениях:
\[\Delta s=\left|\Delta x_1\right|+\left|\Delta x_2\right|+\dots \left(2\right).\]Определение средней скорости
Определение
Направление средней скорости такое же, как у перемещения.
Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:
\[\left[v\right]=\frac{\left[x\right]}{\left[t\right]}.\]Единица измерения скорости (в том числе и средней скорости) в Международной системе единиц (СИ) является метр в секунду:
\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]Средняя скорость при переменном движении
При неравномерном движении величина средней скорости сильно зависит от выбора промежутка времени движения тела.
Рассмотрим движение тела, которое свободно падает вниз. Закон движения при этом:
\[x=4,9t^2\left(4\right).\]Для моментов времени $t_1=0,1\ $c координата тела (подставим время $t_1$ в формулу (4)) равна: $x_1=0,049\ $м; для $t_2=0,2\ $c$\ x_2=0,196$ м, тогда $\left\langle v\right\rangle $в промежутке времени от $t_1=0,1$ с до $t_2=0,2\ $c будет:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{0,196-0,049}{0,2-0,1}=1,47\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Если взять для того же свободно падающего тела промежуток времени от $t_1=0,7$ с до $t_2=0,8\ $c, то средняя скорость получится равной $\left\langle v\right\rangle =7,4\frac{м}{с}$.
Средняя скорость равномерного движения
Только при равномерном движении средняя скорость является постоянной величиной и не зависит от выбора промежутка времени, в который движется тело. При равномерном движении материальной точки по оси X кинематические уравнения для перемещения запишем как:
\[x=x_0+vt\ \left(5\right).\]Тогда:
\[x_1\left(t_1\right)=x_0+vt_1;;\ x_2\left(t_2\right)=x_0+vt_2\left(6\right).\]Найдем среднюю скорость движения, используя определение (3) и выражения (6):
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{x_0+vt_2-x_0-vt_1}{t_2-t_1}=v\frac{t_2-t_1}{t_2-t_1}=v.\]Для оценки численной величины средней скорости на практике используют следующее определение $\left\langle v\right\rangle $: средняя скорость равна отношению пройдённого пути (s) ко времени (t), которое было затрачено на движение:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\left(7\right).\]Определяемая таким образом средняя скорость является скалярной величиной.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Пешеход, потратил первую половину времени своего движения, двигаясь со скоростью $v_1=5\frac{км}{ч}$, вторую половину времени он шел со скоростью $v_3=3\frac{км}{ч}$. Какова средняя скорость движения человека?
Решение. Сделаем рисунок.
Для решения задачи используем формулу, определяющую среднюю скорость:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\ \left(1.1\right),\]где путь складывается из двух участков движения:
\[s=s_1+s_2\left(1.2\right).\]Причем по условию задачи:
\[s_1=v_1t_1=v_1\frac{t}{2}\left(1.3\right)\ и\ \] \[s_2=v_2t_2=v_2\frac{t}{2}\left(1.4\right).\]Подставим в определение средней скорости (1.1) правые части выражений (1.2) - (1.4), и учтем, что $t=t_1+t_2$ имеем:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{v_1\frac{t}{2}+v_2\frac{t}{2}}{t}=\frac{v_1+v_2}{2}.\]Вычислим среднюю скорость пешехода:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{5+3}{2}=4\ (\frac{м}{с}).\]Ответ. $\left\langle v\right\rangle =4\frac{м}{с}$
Пример 2
Задание. Какова средняя скорость, которую имела материальная точка за промежуток времени $\tau $, если уравнение ее скорости имеет вид:
\[v\left(t\right)=A+Bt+Ct^2\ \left(0\le t\le \tau \right)\left(2.1\right).\]Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу ($t=\tau $):
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\ \left(2.1\right).\]Найдем путь материальной точки, учитывая уравнение скорости из данных задачи:
\[s=\int\limits^{\tau }_0{vdt=\int\limits^{\tau }_0{(A+Bt+Ct^2)dt=}}A\tau +B\frac{{\tau }^2}{2}+C\frac{{\tau }^3}{3}\left(2.2\right).\]Подставим правую часть выражения (2.2) в (2.1), имеем:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{A\tau +B\frac{{\tau }^2}{2}+C\frac{{\tau }^3}{3}}{\tau }=A+\frac{B\tau }{2}+\frac{C{\tau }^2}{3}.\]Ответ. $\left\langle v\right\rangle =A+\frac{B\tau }{2}+\frac{C{\tau }^2}{3}$
Читать дальше: статика.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
