Физическим маятником считают твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси, расположенной горизонтально.
Математический маятник
Физический маятник
Определение
Точка пересечения этой оси с вертикальной плоскостью, которая проходит через центр масс маятника называют точкой подвеса маятника. Положение тела в каждый момент времени физического маятника характеризуют углом отклонения его от положения равновесия ($\varphi $). Угол $\varphi $ выполняет роль обобщенной координаты. Кинетическая энергия ($E_k$) качающегося физического маятника может быть определена как:
\[E_k=\frac{J{\dot{\varphi }}^2}{2}\left(1\right),\]где $J$ - момент инерции маятника по отношению к точке подвеса; $\omega =\frac{d\varphi }{dt}=\dot{\varphi }$ - угловая скорость.
Потенциальная энергия ($E_p$) в случае малых колебаний маятника вычисляется как:
\[E_p=\frac{mga}{2}{\varphi }^2\left(2\right),\]где $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса мятника; $g$ - ускорение свободного падения.
Малые колебания физического маятника можно считать гармоническими с циклической частотой (${\omega }_0$) равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(3\right).\]Полная энергия колебаний маятника равна:
\[E=\frac{mA^2{\omega }^2_0}{2}\left(4\right),\]где $A$ - амплитуда колебаний.
Математический маятник - частный случай физического маятника
Определение
Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.
Для математического маятника расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса ($a$) равно длине нити ($l$), момент инерции шарика равен $J=ml^2$тогда формулу для циклической частоты колебаний математического маятника запишем как:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(5\right).\]Период колебаний математического маятника ($T$) при этом:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(6\right).\]Уравнение движения математического маятника и его решение
Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим гармонические колебания описываемые уравнением:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(7\right).\]Решением уравнения (7) является выражение:
\[\varphi ={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(8\right),\ }\]где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний.
Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической или квантовой механики.
Примеры задач с математическим маятником
Пример 1
Задание. Каков период (T) колебаний математического маятника, который подвешен к потолку кабины лифта, движущегося вертикально вниз 1) равномерно; 2) с ускорением $a$? Длина нити маятника равна $l$.
Решение. Сделаем рисунок.
Период колебаний при равномерном движении математического маятника равен:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1.1\right).\]При движении с ускорением вниз период равен:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}\left(1.2\right).\]Ответ. 1) $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$ 2) $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$
Пример 2
Задание.Какова возвращающая сила ($F$), действующая на шарик, массой $m$, математического мятника при $t'$ и его полная энергия (E), если колебания совершаются по закону $x=0,2{\cos ({\omega }_0t)\ }$, где ${\omega }_0=\frac{2\pi }{3}$($\frac{рад}{с}$)?
Решение. 1) Для нахождения силы, действующей на материальную точку в которой сосредоточена масса математического маятника, воспользуемся вторым законом Ньютона:
\[ma=F\ \left(2.1\right).\]Ускорение шарика найдем как:
\[a=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(A{cos \left({\omega }_0t\right)\ }\right)\right)=-A{\omega }^2_0{cos \left({\omega }_0t\right)\ }=-\frac{0,8\cdot {\pi }^2}{9}{cos \left({\omega }_0t\right)\ }.\]Получаем, то сила равна:
\[F=ma=-m\frac{4{\pi }^2}{45}{cos \left({\omega }_0t'\right)\ }.\]2) Полная энергия маятника:
\[E=\frac{mA^2{\omega }^2_0}{2}=m\frac{0,4}{2}\cdot \frac{4{\pi }^2}{3}=\frac{4}{15}{\pi }^2m.\]Ответ. $F$=$-m\frac{4{\pi }^2}{45}{cos \left({\omega }_0t'\right)\ \left(Н\right)\ }.E=\frac{4}{15}{\pi }^2m\ Дж$
Читать дальше: механика.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
