Следствием закона инерции является то, что тело само, без взаимодействия с другими телами не может изменить свою скорость. Любое изменения величины скорости или ее направления вызвано действием внешних тел. Данное воздействие мы характеризуем при помощи сил.

Формулировка второго закона Ньютона

Определение

Второй закон Ньютона (основной закон динамики) отражает соотношение между силой и изменением скорости тел при их взаимодействии.

Самый простой вид второй закон Ньютона имеет в инерциальных системах отсчета.

Пусть скорость движения тела много меньше, чем скорость света.

И так, если тело движется с ускорением, по отношению к инерциальной системе отсчета, то на него действует сила. Сила, вызывает ускорение, величина которого пропорциональна модулю этой силы. Направление ускорения совпадает с направлением, действующей силы. При заданном ускорении сила пропорциональна массе тела, которому она сообщает ускорение. При скорости много меньшей скорости света, рассматриваемая сила не зависит от скорости движения ускоряемого тела. Более коротко можно сказать, что сила ($\overline{F}$), вызывающая ускорение тела ($\overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тела, умноженной на его ускорение:

\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1\right)\]

Выражение (1) - это второй закон Ньютона в классической динамике.

Этот закон можно записать в иной форме:

\[\overline{F}=\frac{d\left(m\overline{v}\right)}{dt}=\frac{d\left(\overline{p}\right)}{dt}\left(2\right),\]

где $\overline{p}=m\overline{v}$ - импульс тела. Тогда второй закон Ньютона формулируют так: сила равна производной от импульса по времени - это наиболее общая формулировка основного закона динамики.

Если на тело действуют несколько сил, равнодействующая которых равна:

\[\overline{F}=\sum{{\overline{F}}_i\ \left(3\right),}\]

то второй закон Ньютона принимает вид:

\[\sum{{\overline{F}}_i=m\overline{a}=\frac{d\overline{p}}{dt}\left(4\right)}\]

Если материальная точка перемещается равномерно по окружности, то равнодействующая всех сил направлена к центру окружности, тогда равнодействующую силу называют центростремительной.

Использование второго закона Ньютона

При помощи второго закона Ньютона можно определить силы, которые действуют на тела или характер движения тела по известным силам.

При составлении уравнений движения нужно:

Определить все (или те что обязательно следует учесть) силы, которые действуют на тело (материальную точку).
Найти равнодействующую этих сил.
Записать второй закон Ньютона, составленное уравнение движения решить относительно неизвестного параметра.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Движение материальной точки задают уравнения: $x=At^3; \ y=Bt$. Изменяется ли сила, действующая на точку по величине?

Решение. По второму закону Ньютона сила, действующая на точку равна:

\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1.1\right)\]

Изменения координат материальной точки задают уравнения:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=At^3 \\ y=Bt \end{array} \right.\left(1.2\right)\]

Найдем компоненты ускорения точки в соответствии с формулами:

\[\left\{ \begin{array}{c} a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2\left(At^3\right)}{dt^2}=6At; \\ a_y=\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2\left(Bt\right)}{dt^2}=0. \end{array} \right.\left(1.3\right)\]

Модуль ускорения материальной точки равен:

\[a=\sqrt{a^2_x+a^2_y}=\sqrt{{(6At)}^2}=6At(1.4)\]

Получаем в соответствии с (1.1) и (1.4):

\[F=m\cdot 6At\]

Ответ. Из выражения $F=m\cdot 6At,$ следует, что величина силы увеличивается с течением времени по линейному закону.

Пример 2

Задание. По горизонтальной очень гладкой поверхности движутся с ускорением два груза, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Массы грузов равны $m_1\ и\ m_2$. На первый груз действует сила F (она направлена горизонтально). Какова сила натяжения нити, которая связывает грузы? Силой трения грузов о поверхность пренебречь.

Решение. Изобразим силы, которые действуют на первый груз (рис.1).

Второй закон Ньютона, рисунок 1

По второму закону Ньютона запишем:

\[m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+\overline{F}+{\overline{F}}_n=m_1\overline{a}\left(2.1\right)\]

Нам потребуется для решения задачи проекция уравнения (2.1) на ось Y:

\[F-F_n=m_1a\ \left(2.2\right)\]

В уравнении (2.2) у нас присутствуют две неизвестные величины: сила натяжения нити ($F_n$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система, определим, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на это тело массы $m_1+m_2$ при отсутствии трения действует одна сила $\overline{F}$. В таком случае второй закон Ньютона примет вид:

\[\left(m_1+m_2\right)\overline{a}=\overline{F}+\left(m_1+m_2\right)\overline{g}+\overline{N}\left(2.3\right)\]

В проекции на ось Y выражения (2.3) получим:

\[\left(m_1+m_2\right)a=F\ \left(2.4\right)\]

Из (2.4) ускорение тел равно:

\[a=\frac{F}{m_1+m_2}\left(2.5\right)\]

Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:

\[F_n=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)\ \]

Ответ. $F_n=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$

Читать дальше: закон всемирного тяготения.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20