Теорема о циркуляции вектора напряженности
Теорема о циркуляции вектора напряженности
Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
Взаимодействие неподвижных зарядов реализуется посредством электростатического поля. Описывают электростатическое поле при помощи вектора напряженности ($\overline{E}$), который определен как сила ($\overline{F}$), действующая на единичный положительный заряд, размещенный в рассматриваемой точке поля:
\[\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q}\left(1\right).\]
Электростатические силы являются консервативными, это значит, что их работа по замкнутой траектории ($L$) равна нулю:
\[A=\oint\nolimits_L{\overline{F}d\overline{r}=}q\oint\nolimits_L{\overline{E}d\overline{r}=}0\ \left(2\right),\]
где $\overline{r}$ - перемещение.
Интеграл в формуле (2) называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Циркуляция вектора $\overline{E}$- это работа, которую могут совершить силы Кулона, перемещая положительный заряд равный единице по контуру.
Учитывая, что $q\ne 0$, получим:
\[\oint\nolimits_L{\overline{E}d\overline{r}=}0\ \left(3\right).\]
Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля говорит о том, циркуляция $\overline{E}$ по замкнутому контуру равна нулю.
В дифференциальной форме теорему о циркуляции записывают как:
\[rot\ \overline{E}=0\ \left(4\right).\]
Такой вид записи как (4) удобно использовать для проверки потенциальности векторного поля. Потенциальное поле является безвихревым.
Как следствие из теоремы о циркуляции $\overline{E}$: работа при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории движения.
Из теоремы о циркуляции следует, что линии электростатического поля не бывают замкнутыми, они начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
Физическая величина ($\overline{H}$), являющаяся характеристикой магнитного поля, равная:
\[\overline{H}=\frac{\overline{B}}{{\mu }_0}-{\overline{P}}_m(5)\]
называется напряженностью магнитного поля. $\overline{B}$ - вектор магнитной индукции поля; ${\mu }_0$ - магнитная постоянная; ${\overline{P}}_m$- вектор намагниченности.
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(6\right).}\]
Если направление обхода контура связывается с направлением тока правилом правого винта, то ток в сумме (5) стоит со знаком плюс.
Циркуляция вектора напряженности в общем случае отлична от нуля, это означает, что магнитное поле - это вихревое поле, оно не является потенциальным.
Теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля доказывают, опираясь на закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.
Теорема о циркуляции вектора $\overline{H}$ исполняет роль, похожую на роль теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля. Если имеется симметрия при распределении токов, то используя теорему о циркуляции $\overline{H},$ находят саму напряженность магнитного поля.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Определите, является ли потенциальным электрическое поле, которое задано уравнением: $\overline{E}\left(x,y\right)=A\left(2xy\ \overline{i}+\left(x^2-y^2\right)\overline{j}\right).$
Решение. Из теоремы о циркуляции, которая записана в дифференциальном виде:
\[rot\ \overline{E}=0\ \left(1.1\right).\]
следует, что если вихрь поля равен нулю, то поле потенциально. Используя определение ротора:
\[rot\ \overline{E}=\left| \begin{array}{ccc}
\overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z \end{array}
\right|(1.2)\]
найдем:
\[rot\ \overline{E}=rot\ \left[A\left(2xy\ \overline{i}+\left(x^2-y^2\right)\overline{j}\right)\right]=\frac{\partial E_y}{\partial x}\overline{k}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\overline{k}\left(1.3\right).\]
Частные производные от $\overline{E}$ равны:
\[\frac{\partial E_y}{\partial x}=A\cdot 2x;;\ \frac{\partial E_x}{\partial y}=A\cdot 2x\ \left(1.4\right).\]
Подставляя (1.4) в (1.3), получаем, что
\[rot\ \overline{E}=rot\ \left[A\left(2xy\ \overline{i}+\left(x^2-y^2\right)\overline{j}\right)\right]=0.\]
Ответ. Поле является потенциальным.
Пример 2
Задание. Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура $L$ (рис.1), если $I_1=5\ A;;\ I_2=2\ A;;\ I_3=10\ A;;\ I_4=1\ A?$
Решение. Основой для решения задачи служит теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(2.1\right).}\]
Контур $L$ охватывает три тока, следовательно:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=I_1-I_2+I_3.}\]
Вычислим циркуляцию:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=5-2+10=13\ (А).}\]
Ответ. $\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=13А\ .}$
Читать дальше: типы ядерных реакций.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 464 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
