Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $\overline{S}\ $(встречается обозначение $\overline{P}$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($\overline{S}$) называют вектором Умова - Пойнтинга.
Вектором Умова - Пойнтинга ($\overline{S}$) называют физическую величину, определяющую поток энергии электромагнитного поля, который равен:
\[\overline{S}=\left[\overline{E}\overline{H}\right]\left(1\right),\]где $\overline{E}$ - напряженность электрического поля; $\overline{H}$ - напряженность магнитного поля. Направлен $\overline{S}$ перпендикулярно $\overline{E}$ и $\overline{H}$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.
Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитной волны равна:
\[S=EH{\sin \alpha \ }\ \left(2\right),\]где $\alpha $ - угол между векторами $\overline{E}$ и $\overline{H}$, но $\overline{E}\bot $ $\overline{H}$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:
\[S=EH\left(3\right).\]Вектор $\overline{S}\ $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:
\[div\ \overline{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=0\ \left(4\right),\]где $w$ - объемная плотность энергии электромагнитного поля.
В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $\overline{S}$ равна:
\[P=\frac{E^2}{\mu {\mu }_0u}\left(5\right),\]где $u$ $=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0\mu \varepsilon {\varepsilon }_0}}$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $ и магнитной проницаемостью $\mu .$
\[u=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu }}\ \left(6\right),\]где $c$ - скорость света в вакууме.
Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:
\[\sqrt{{\varepsilon \varepsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H\left(7\right),\]выразим напряженность $H$:
\[H=\frac{\sqrt{{\varepsilon \varepsilon }_0}E}{\sqrt{\mu {\mu }_0}}(8).\]Учитывая формулу (8) величину вектора $\overline{S}$ запишем как:
\[S=\varepsilon {\varepsilon }_0uE^2\left(9\right).\]В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:
\[w=\frac{1}{2}\left(\overline{E}\overline{D}+\overline{B}\overline{H}\right)=ее_0=\mu {\mu }_0H^2=\frac{\sqrt{\varepsilon \mu }EH}{c}\left(10\right).\]Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $\overline{S}$:
\[S=uw\left(11\right).\]На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова - Пойнтинга равна:
\[{\left\langle S\right\rangle }_t=\frac{u\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}(12).\]Модуль величины $\left|{\left\langle S\right\rangle }_t\right|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:
\[I=\left|{\left\langle S\right\rangle }_t\right|=u\left\langle w\right\rangle \ \left(13\right).\]Направление вектора Умова - Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $\overline{S}$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.
Задание. На рис.1 изображен вектор фазовой скорости плоской электромагнитной волны. В какой плоскости расположены векторы $\overline{E}$ и $\overline{H}$ полей этой волны?
Решение. Основой решения нашей задачи будем считать определение вектора $\overline{S}$:
\[\overline{S}=\left[\overline{E}\overline{H}\right]\left(1.1\right).\]Вектор $\overline{S}$ является результатом векторного произведения векторов$\overline{E}$ и $\overline{H}$, он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, следовательно, $\overline{S}\uparrow \uparrow \overline{v}$, для рис.1 вектор Умова - Пойнтинга направлен по оси Z. Значит, векторы $\overline{E\ }и\ \overline{H}$ лежат в плоскости XOY.
Ответ. XOY
Задание. Запишите модуль среднего вектора Умова - Пойнтинга электромагнитной волны: $\overline{E}=E_0{\cos \left(\omega t-kx\right).\ }\ $Считайте, что волна распространяется в вакууме по оси X.
Решение. Модуль вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитной волны:
\[S=EH\left(2.1\right),\]где $E$ и $H$ - мгновенные значения электрического и магнитного полей. Мгновенное значение вектора Умова - Пойнтинга будет равно:
\[S=EH=E_0H_0{{cos}^2 \left(\omega t-kx\right)(2.2),\ }\]где $H_0$ - амплитуда колебаний напряженности магнитного поля.
Средняя величина ${\left\langle S\right\rangle }_t$ может быть найдена:
\[{\left\langle S\right\rangle }_t=\frac{E_0H_0}{2}\left(2.3\right),\]принимая во внимание, что ${\left\langle {{cos}^2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle }_t=\frac{1}{2}$, для вакуума имеем:
\[\sqrt{{\varepsilon }_0}E=\sqrt{{\mu }_0}H\to H_0=\frac{\sqrt{{\varepsilon }_0}E_0}{\sqrt{{\mu }_0}}\left(2.4\right).\]Подставим результат (2.4) в (2.3), тогда:
\[{\left\langle S\right\rangle }_t=\frac{{E_0}^2}{2}\frac{\sqrt{{\varepsilon }_0}}{\sqrt{{\mu }_0}}.\]Ответ. ${\left\langle S\right\rangle }_t=\sqrt{\frac{{\varepsilon }_0}{{\mu }_0}}\frac{{E_0}^2}{2}$
Читать дальше: вектор электрической индукции.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
