Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, при котором величина ускорения постоянна, векторы скорости и ускорения имеют одинаковые направления, модуль скорости увеличивается.
Формулы равноускоренного прямолинейного движения
Определение и формулы равноускоренного прямолинейного движения
Определение
При описании подобного движения обходятся одной осью координат системы отсчета, например, X.
Любые кинематические задачи можно решить при помощи двух уравнений при равноускоренном прямолинейном движении:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x(t)=v_{0x}+a_xt\ . \\ x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2} \end{array} \right.\left(1\right),\]где $v_x(t)$ - проекция вектора мгновенной скорости на ось X; $v_{0x}$ - проекция вектора начальной скорости на ось X; $a_x$ - проекция вектора ускорения на X; $x(t)$ - координата материальной точки в момент времени $t$; $x_0$ - координата материальной точки в начальный момент времени.
Величина перемещения и путь
Рассмотрим материальную точку, движущуюся равноускоренно и прямолинейно по оси X. В таком случае проекция вектора перемещения на ось X равна:
\[\Delta x=x-x_0\left(2\right).\]Из второго уравнения системы (1) получаем, что:
\[\Delta x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\ \left(3\right).\]При прямолинейном движении направление вектора скорости постоянно. Величина пути, проходимого телом ($s$) модулю перемещения:
\[s=\left|\Delta x\right|=\left|v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\right|\left(4\right).\]Если исключить время из системы уравнений (1), и использовать выражение (2), то получим, что перемещение точки равно:
\[\Delta x=\frac{v^2_x-v^2_{0x}}{2a_x}\left(5\right).\]При этом квадрат мгновенной скорости:
\[v^2_x=v^2_{0x}+2a_x\Delta x\ \left(6\right).\]Формула средней скорости при равноускоренном прямолинейном движении
Из первого уравнения системы (1) имеем:
\[a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}\left(7\right).\]Величину ускорения из уравнения (7) подставим в формулу (5) получим, что перемещение по оси X равно:
\[\Delta x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}t\left(8\right).\]Найдем проекцию средней скорости на ось X из определения средней скорости движения:
\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{\Delta x}{t}\left(9\right).\]Разделим правую и левую части выражения (8) на время движения тела. Получим, что средняя скорость при рассматриваемом движении равна:
\[\frac{\Delta x}{t}=\frac{v_x+v_{0x}}{2}={\left\langle v\right\rangle }_x\left(10\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Камень падает в шахту. Звук удара о дно слышен через промежуток времени $t_0$ от момента начала его движения. Какова глубина шахты, если скорость звука считать равной $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Камень движется прямолинейно и равноускоренно в поле тяжести Земли, следовательно, ускорение его движения равно $\overline{g}$. Уравнение перемещения камня запишем как:
\[y=y_0+v_0t+\frac{gt^2}{2}\left(1.1\right),\]где по условию задачи начальная скорость камня равна нулю ($v_0=0$). Начало системы координат выберем в точке начала падения камня (рис.1), значит: $y_0=0$. Уравнение (1.1) преобразуется к виду, если мы обозначим глубину шахты как $h$:
\[h=\frac{g{t_1}^2}{2}\left(1.2\right),\]где $t_1$ - время падения камня.
Звук от удара камня о землю движется вверх по прямой с постоянной скоростью $v$, он проходит расстояние равное глубине шахты:
\[h=vt_2\left(1.3\right).\]При этом время от начала падения до момента, когда был слышен звук, которое в условии задачи обозначено как $t_0$ равно:
\[t_0=t_1+t_2\left(1.4\right).\]Найдем время падения камня. Для этого приравняем правые части выражений (1.2) и (1.3), учтем равенство (1.4):
\[\frac{g{t_1}^2}{2}=v\left(t_0-t_1\right)\left(1.5\right).\]Из квадратного уравнения (1.5), время падения камня получаем равным:
\[t_1=-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\ \left(1.6\right).\]Глубину шахты найдем, подставляя вместо $t_1$ в формулу (1.2) правую часть выражения (1.6):
\[h=\frac{g}{2}{\left(-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\right)}^2.\]Ответ. $h=\frac{g}{2}{\left(-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\right)}^2$
Пример 2
Задание. Тело перемещается прямолинейно и равноускоренно. Начальная скорость его равна $v_0$. Каким должно быть ускорение этого тела, если за промежуток времени равный $t'=1$ c оно проходит путь равный $s(t')=$8 м, при этом скорость его становится равной $v=3v_0.$
Решение. Ось X системы отсчета направим по движению тела. Будем считать, что тело начало свое движение из начала координат. Тогда кинематические уравнения, описывающие движения этого тела имеют вид:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x(t)=v_0+at\ (2.1). \\ x\left(t\right)=v_0t+\frac{at^2}{2}\left(2.2\right). \end{array} \right.\]Учитывая условие задачи: $v(t')=3v_0$ и применяя уравнение (2.1) запишем:
\[v\left(t'\right)=3v_0=v_0+at'\to a(t')=\frac{2v_0}{t'}\left(2.3\right).\]Исходя из (2.2) и (2.3) $s(t')$ равен:
\[s\left(t'\right)=v_0t'+\frac{a{t'}^2}{2}=v_0t'+\frac{2v_0}{t'}\frac{{t'}^2}{2}=2v_0t'\left(2.4\right).\]Из формулы (2.4) получим:
\[v_0=\frac{s\left(t'\right)}{2t'}\left(2.5\right).\]Подставим полученную начальную скорость (2.5) в выражение для ускорения (2.3), имеем:
\[a\left(t'\right)=\frac{2}{t'}\frac{s\left(t'\right)}{2t'}=\frac{s\left(t'\right)}{{t'}^2}.\]Вычислим искомое ускорение:
\[a\left(t'\right)=\frac{8}{1^2}=8\ (\frac{м}{с^2}).\]Ответ. $a\left(t'\right)=8\ \frac{м}{с^2}$
Читать дальше: формулы свободного падения.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
