Формула ускорения свободного падения в физике
Формула ускорения свободного падения
Гравитационное поле и ускорение свободного падения
Гравитационные взаимодействия тел можно описывать, применяя понятие гравитационного поля. Считают, что передача любых взаимодействий между телами реализуется при помощи полей, которые создают рассматриваемые тела. Одно из тел не оказывает непосредственного действия на другое тело, но оно создает в окружающем его пространстве гравитационное поле, особый вид материи, которая и оказывает воздействие на второе тело. Наглядной картины поля дать нельзя, понятие физического поля относят к основным понятиям, которые невозможно определить, используя другие более простые понятия. Можно только определить свойства поля.
Гравитационное поле может создавать силу. Поле зависит только от тела, которое его создает и не зависит от тела, на которое оно действует. Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряжённость, которую обозначают $\overline{g}$. Напряженность гравитационного поля измеряется силой, которая действует на материальную точку единичной массы:
\[\overline{g}=\frac{\overline{F}}{m}\left(1\right).\]
Если гравитационное поле создается материальной точкой массы $M$, то оно имеет сферическую симметрию. Это значит, что вектор $\overline{g}$ в каждой точке поля направлен к точечной массе $M$, которое создает данное поле. Из закона всемирного тяготения следует, что модуль вектора напряженности гравитационного поля:
\[g\left(r\right)=\gamma \frac{M}{r^2}\left(2\right).\]
Из формулы (2) следует, что $g$ зависит от расстояния ($r$) от источника поля до точки, в которой поле рассматривается. В таком поле движение происходит по законам Кеплера.
Гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Напряженность поля, которая создается несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, которые порождаются каждым телом отдельно. Принцип суперпозиции выполняется, поскольку гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от присутствия других масс. Принцип суперпозиции дает возможность рассчитывать гравитационные поля, которые созданы телами, отличающимися от точечных (размеры которых следует учитывать).
Ускорение при свободном падении
Если тело около поверхности Земли движется только под воздействием силы тяжести ($\overline{F}$), говорят, что оно свободно падает. Ускорение свободного падения обозначают буквой $g$. В соответствии со вторым законом Ньютона это ускорение равно:
\[\overline{g}=\frac{\overline{F}}{m}\left(3\right),\]
где $m$ - масса свободно падающего тела.
В соответствии с законом гравитации величина силы $\overline{F}$ на расстоянии $h$ от поверхности Земли равна:
\[\left|\overline{F}\right|=\gamma \frac{mM}{{(R+h)}^2}\left(4\right),\]
где $\gamma $- гравитационная постоянная; $M$ - масса Земли; $R$ - радиус Земли.
Получается, что модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли ($h\ll R$) равен:
\[g=\gamma \frac{M}{R^2}\left(5\right).\]
Направлено ускорение свободного падения к центру Земли.
Правая часть выражения (5) дает величину напряженности гравитационного поля Земли вблизи к ее поверхности.
Получаем, что напряжённость гравитационного поля и ускорение свободного падения в поле гравитации - это одно и то же. Поэтому эти величины были сразу обозначены одной буквой.
Величина ускорения свободного падения на расстоянии $h$ от поверхности Земли вычисляется при помощи формулы:
\[g=\gamma \frac{M}{({R+h)}^2}\left(6\right).\]
В задачах о движении тел около поверхности Земли ускорение свободного падения считают постоянной величиной, которую вычисляют с помощью формулы (5), так как в сравнении с радиусом Земли рассматриваемые расстояния много меньше, чем $R$. Обычно, ускорение свободного падения на Земле считают равным $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каково ускорение свободного падения на Меркурии, если его масса меньше массы Земли в 18,18 раза, отношение радиусов Земли ($R_z$) и радиуса Меркурия ($R_m$) составляет $\frac{R_z\ }{R_m}=2,63$?
Решение. Модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли определен формулой:
\[g=\gamma \frac{M}{{R_z}^2}\left(1.1\right).\]
Величина вектора напряженности гравитационного поля любого тела равна:
\[g\left(r\right)=\gamma \frac{M}{r^2}\ \left(1.2\right),\]
если в формулу (1.2) вместо массы $M$ подставить массу Меркурия, а вместо $r$ его радиус, то мы получим ускорение свободного падения около поверхности Меркурия:
\[g_m=\gamma \frac{M_m}{{R_m}^2}\left(1.3\right).\]
Найдем отношение выражений (1.1) и (1.3):
\[\frac{g}{g_m}=\frac{\gamma \frac{M}{{R_z}^2}}{\gamma \frac{M_m}{{R_m}^2}}=\frac{M}{M_m}\frac{{R_m}^2}{{R_z}^2}\left(1.4\right).\]
Считая, что нам известно ускорение свободного падения на Земле ($g=9,8\ \frac{м}{с^2}$), выразим ускорение свободного падения на Меркурии:
\[g_m=g\frac{M_m}{M}\cdot \frac{{R_z}^2}{{R_m}^2}.\]
Вычислим искомое ускорение:
\[g_m=9,8\cdot \frac{1}{18,18}\cdot {\left(2,63\right)}^2=3,73\ \left(\frac{м}{с^2}\right).\]
Ответ. $g_m=3,73\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. Ускорение свободного падения на поверхности Земли считают равным $g_0$. Тело опускают в глубокую шахту под Землю. На какой глубине ($h$) от поверхности ускорение свободного падения данного тела будет составлять $g=$0,3 $g_0.\ $Радиус Земли равен $R.\ $Землю считайте однородным шаром.
Решение. Если тело находится на некоторой глубине, то считаем, что находящиеся выше слои Земли действуют на тело с силами гравитации, которые взаимно компенсируют друг друга. Поэтому тело притягивается только той массой Земли, которая находится ниже рассматриваемого тела.
В качестве основы для решения задачи используем закон всемирного тяготения в виде:
\[F=\gamma \frac{mM}{r^2}\left(2.1\right),\]
где $m$ - масса тела; $M$ - масса Земли; $r$ - расстояние от центра Земли до рассматриваемого тела, то есть:
\[r=R-h\ \left(2.2\right),\]
где $R$ - радиус Земли. Мы можем использовать закон гравитации в виде (2.1), так как по условию задачи Землю считаем однородным шаром (ее масса распределена сферически симметрично), а тело материальной точкой. С другой стороны на тело действует сила, которая равна:
\[F=mg\ \left(2.3\right).\]
Приравняем правые части выражений (2.1) и (2.3), учтем (2.2):
\[mg=\gamma \frac{mM'}{{(R-h\ )}^2}\to g=\gamma \frac{M'}{{\left(R-h\ \right)}^2}\left(2.4\right),\]
где $M'=\frac{4\pi }{3}{\rho \left(R-h\ \right)}^3$ - масса слоев Земли ниже рассматриваемого тела; $\rho $ - плотность Земли.
У поверхности Земли мы знаем, что:
\[g_0=\gamma \frac{M}{R^2}=\gamma \frac{\frac{4\pi }{3}\rho R^3}{R^2}=\frac{4\pi }{3}\gamma \rho R\left(2.5\right).\]
Выразим из (2.5) плотность Земли:
\[\rho =\frac{3}{4\pi }\frac{g_0}{\gamma R}\left(2.6\right).\]
Подставим результат (2.6) в формулу (2.4) выразим высоту:
\[g=\gamma \frac{\frac{4\pi }{3}{\left(R-h\ \right)}^3}{{\left(R-h\ \right)}^2}\frac{3}{4\pi }\frac{g_0}{\gamma R}=g_0\frac{R-h}{R}\to h=R\left(1-\frac{g}{g_0}\right)=0,7R.\]
Ответ. $h=R\left(1-\frac{g}{g_0}\right)=0,7R$
Читать дальше: формула центростремительного ускорения.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 474 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
