Фронт волны (волновая поверхность) - это геометрическое место точек среды, для которых в некоторый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение.
Скоростью волны называют скорость, с которой движется фронт волны.
Формула скорости волны
Определение
Формула фазовой скорости волны
Рассмотрим одномерный случай для гармонической волны. Уравнение волновой поверхности при это запишем как:
\[Ф_s=\omega t-kx+\varphi \ \left(1\right),\]где${\ Ф}_s$ - фаза волны; $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ - волновое число; $\lambda $ - длина волны; $\omega $ - циклическая частота; $\varphi $ - начальная фаза. Уравнению (1) в каждый момент времени соответствует только одна точка оси X координата которой, равна:
\[x=\frac{\omega t+\varphi -Ф_s}{k}\left(2\right).\]Разным значениям фазы волны $Ф_s$ соответствуют разные волновые поверхности, каждая из которых в одномерной волне превращается в точку. Из формулы (2) видно, что волновые поверхности перемещаются в среде со скоростью:
\[\frac{dx}{dt}=\frac{\omega }{k}=\frac{\lambda }{T}=v\ \left(3\right),\]где $T$ - период колебаний точек в волне.
Если волны гармонические, то скорость движения волновой поверхности равна скорости распространения волны. Скорость, которую определяет выражение (3) является фазовой скоростью.
Фазовая скорость гармонической волны совпадает со скорость распространения энергии волны.
Скорость волны зависит от вещества, в котором распространяется волна и типа волны. Скорость волны - это не то же самое, что скорость колебания частиц среды в волне.
Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:
\[v=\sqrt{\frac{K}{\rho }}\left(4\right),\]где $K$ - модуль объемной упругости вещества; $\rho =const$ - плотность среды. В газах формула (4) выполняется, если избыточное давление много меньше, равновесного давление газа в невозмущенном состоянии.
Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:
\[v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho }}\left(5\right),\]где $\gamma $ - показатель адиабаты; $p$ - давление газа.
Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:
\[v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}\left(6\right),\]где $E$ - модуль Юнга вещества стержня.
Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн
Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:
\[v=\sqrt{\frac{G}{\rho }\left(7\right),}\]где $G$ - модуль сдвига среды; $\rho $ - плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Формула для групповой скорости волн
Кроме фазовой скорости для описания распространения диспергирующих волн применяют понятие групповой скорости. При этом фазовая скорость может зависеть от частоты, при этом в веществе распространяются волны сложного негармонического характера, тогда с групповую скорость проще использовать, как характеристику скорости распространения волн.
Групповой скоростью называют скорость перемещения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени, локализованный в пространстве, волновой пакет. Любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость, с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию, равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.
Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:
\[u=v-\frac{dv}{d\lambda }\left(8\right).\]Если дисперсия отсутствует, то $\frac{dv}{d\lambda }=0$, тогда фазовая и групповая скорости равны и не зависят от длины волны.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. За время равное $t=20$ c волне совершается $N=$100 колебаний, при этом расстояние между соседними максимумами волны составляет 1 м. Какова скорость распространения волны?
Решение. Сделаем рисунок.
В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления фазовой скорости волны вида:
\[v=\frac{\lambda }{T}\ \left(1.1\right).\]Найдем период колебаний как время одного полного колебания:
\[T=\frac{t}{N}\ \left(1.2\right).\]Используя формулу (1.2) скорость будем вычислять, применяя формулу:
\[v=\frac{\lambda N}{t}.\]Вычислим искомую скорость:
\[v=\frac{1\cdot 100}{20}=5\left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ. $v=5\frac{м}{с}$
Пример 2
Задание. Уравнение плоской волны, которая распространяется вдоль положительного направления оси X, имеет вид: $\xi \left(x,t\right)=2{\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\ }\left(м\right).$ Частота колебаний $\nu =450$Гц, длина волны $\lambda =0,8\ $м. Какова скорость распространения волны, какой будет максимальная скорость колебания частиц среды?
Решение. Фазовую скорость движения волны найдем как:
\[v=\frac{\lambda }{T}=\lambda \nu \ \left(2.1\right),\]где период - величина обратная частоте колебаний:
\[T=\frac{1}{\nu }\left(2.2\right).\]Вычислим фазовую скорость:
\[v=450\cdot 0,8=360\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Скорость колебания частиц равна:
\[\frac{d\xi }{dt}=\frac{d}{dt}\left(2{cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\ }\right)=-2\omega {\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\left(2.3\right).\ }\]Максимальное значение скорости колебаний частиц в волне из (2.3) равно:
\[{\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_{max}=\left|2\omega \right|\left(2.4\right).\]Циклическую частоту найдем как:
\[\omega =2\pi \nu ,\]тогда:
\[{\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_{max}=\left|2\cdot 2\pi \nu \right|=4\pi \nu .\]Вычислим максимальную скорость колебаний частиц:
\[{\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_{max}=4\pi \cdot 450=5,65\cdot {10}^3\left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ. $v=360\ \frac{м}{с}$, ${\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_{max}=5,65\cdot {10}^3\frac{м}{с}$
Читать дальше: формула скорости свободного падения.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
