Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями.
Амплитуда колебаний
Колебания и их амплитуда
Определение
В зависимости от природы колебания могут быть механическими, электромагнитными, звуковыми и др. Разные виды колебаний описывают с помощью одинаковых уравнений и при этом используют одинаковые характеристики.
Колебания называют свободными (иди собственными), если они происходят за счет энергии, которая получена колебательной системой один раз и в дальнейшем внешних воздействий на эту систему нет.
Самым простым видом колебаний являются гармонические колебания.
Определение
Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса..
Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда эти колебания можно описать при помощи следующего уравнения:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний.
Амплитудой называют максимальной значение величины, колебания которой рассматривают. Так как косинус (как и синус) изменяется в пределах от единицы до минус единицы, то величина $s$ находится в пределах $-A\le s\le $+A.
Метод вращающегося вектора амплитуды колебаний
Гармонические колебания можно изображать графически (рис.1), при этом используют метод векторных диаграмм (или метод вращающегося вектора амплитуды). С этой целью, из какой - то произвольно избранной точки оси X, назовем ее точка O, под углом равным начальной фазе (угол $\varphi $), откладывают вектор $\overline{A}$. Длина этого вектора равна амплитуде ($A$) колебаний. Если этот вектор приводится во вращение с угловой скоростью ${\omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$, при этом закон колеблющейся величины будет таким, как представляет уравнение (1). Получается, что гармонические колебания можно изобразить при помощи проекции на некоторую ось вектора амплитуды $\overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $\varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${\omega }_0$ вокруг избранной точки.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Материальная точка совершает гармонические колебания, которые описывает уравнение: $x=0,1{\cos ({\omega }_0t+\varphi )(м)\ }$. Известно, что период колебаний этой точки равен T=5 c. Какова амплитуда скорости ($v_m$) и амплитуда ускорения ($a_m$) данной точки?
Решение. Прежде всего, найдем циклическую частоту колебаний точки, так как нам известен период колебаний:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\ \left(1.1\right).\]Зная закон изменения координаты, определим, как изменяется скорость материальной точки:
\[v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_m{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\right)={-x}_m{\omega }_0{sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(1.2\right),\]где $x_m=0,1$ по условию задачи.
Из уравнения (1.2) следует, что амплитуда скорости колебаний точки равна:
\[v_m=\left|{-x}_m{\omega }_0\right|=x_m{\omega }_0=0,1\cdot \frac{2\pi }{T}=0,04\pi \ \left(\frac{м}{с}\right).\]Используя закон изменения скорости, получим закон изменения ускорения точки:
\[a_x=\frac{dv_x}{dt}={-x}_m{{\omega }_0}^2{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(1.3\right).\]Из закона (1.3) следует, что амплитуда ускорения точки равна:
\[a_m=\left|{-x}_m{{\omega }_0}^2\right|=x_m{{\omega }_0}^2=0,1{(\frac{2\pi }{T})}^2=0,1\cdot \frac{4{\pi }^2}{25}=0,016{\pi }^2\ \left(\frac{м}{с^2}\right).\]Ответ. $v_m=0,04\pi \ \frac{м}{с}$; $a_m=0,016{\pi }^2\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. К горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k,$ прикреплен шар массой $M$. Шар находится на гладком столе, по которому может перемещаться без трения. Пуля летит горизонтально и ударяется о шар, застревает в нем. Скорость пули до удара равна $v_0$, масса пули $m$, скорость ее в момент удара направлена параллельно оси пружины. Какова амплитуда колебаний шара с пулей? Массу пружины и сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Запишем закон сохранения импульса для системы шар - пуля (до удара) и шар с пулей сразу после удара:
\[\overline{p}={\overline{p}}'\left(2.1\right).\]Из рис.2 следует, что выражение (2.1) можно преобразовать к виду:
\[mv_0=\left(m+M\right)v\left(2.2\right).\]Из (2.2) выразим скорость шара с пулей сразу после удара:
\[v=\frac{mv_0}{m+M}\left(2.3\right).\]Система пуля шар, выведена из состояния равновесия ударом пули. Она совершает свободные гармонические колебания. Кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Для двух состояний системы (первое состояние - максимальная скорость движения системы; второе состояние максимальное сжатие пружины) в соответствии с законом сохранения энергии запишем:
\[\frac{(m+M)v^2}{2}=\frac{k{x_m}^2}{2}\left(2.4\right),\]где $x_m$ - амплитуда колебаний шара с пулей. Подставим величину скорости из (2.3) в (2.4) и выразим амплитуду:
\[{\left(m+M\right)v^2=k{x_m}^2\to x_m=\sqrt{\frac{\left(m+M\right)v^2}{k}}\to x}_m=\frac{mv_0}{\sqrt{(M+m)k}}.\]Ответ. $x_m=\frac{mv_0}{\sqrt{(M+m)k}}$
Читать дальше: гармонические колебания.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
