Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.
Формула периода колебаний математического маятника
Математический маятник
Определение
Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.
Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.
Формула для периода колебаний математического маятника
Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:
\[T=\frac{L}{v}=\frac{2\pi R}{v}\left(1\right),\]где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
\[F_1=\frac{mv^2}{R}\left(2\right).\]Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).
\[F_1=mg{\sin \alpha =mg\frac{R}{l}\ }\left(3\right).\]Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:
\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:
\[T=\frac{2\pi R}{R\sqrt{\frac{g}{l}}}\to \] \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(5\right).\]Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.
Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1.1\right).\]Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:
\[g=l\frac{4{\pi }^2}{T^2}.\]Вычислим искомое ускорение:
\[g=0,2485\cdot \frac{4{\pi }^2}{1^2}=9,81\ (\frac{м}{с^2}).\]Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$
Решение. Сделаем рисунок.
1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:
\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(2.1\right).\]2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:
\[T_2=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_p}}\left(2.2\right),\]где:
\[a_p=g-a\ \left(2.3\right),\]тогда:
\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}.\]Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$
Читать дальше: формула периода колебаний пружинного маятника.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
