Тело брошенное горизонтально, теория и онлайн калькуляторы
Тело, брошенное горизонтально
Начальные условия
Пусть тело, которое можно считать материальной точкой, бросили с начальной скоростью ${\overline{v}}_0\ $горизонтально рис.1. с некоторой высоты $h_0.$
Движение тела будем рассматривать в системе отсчета связанной с Землей. Ось X направим горизонтально, ось Y вертикально вверх. Тело будет перемещаться под действием силы тяжести, если не учитывать силу сопротивления воздуха, то других сил нет. Движение тела будет происходить в плоскости, в которой находятся векторы: начальной скорости тела ${\overline{v}}_0$ и ускорения свободного падения $\overline{g}.\ $
Запишем начальные условия движения нашей материальной точки:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x(t=0)=0, \\
y\ (t=0)=h_0, \\
v_{0x}=v_0, \\
v_{0y}=0 \end{array}
\right.\left(1\right).\]
Вектор ускорения при движении под воздействием силы тяжести считаем постоянным:
\[\overline{a}=\overline{g}\left(2\right),\]
при этом:
\[\left\{ \begin{array}{c}
a_x=0, \\
a_y=g \end{array}
\right.\left(3\right).\]
где величина ускорения свободного падения равна $g\approx $ 9,8 $\frac{м}{с^2}.$
Кинематические уравнения движения тела брошенного горизонтально
Уравнение для скорости равнопеременного движения в поле силы тяжести принимает вид:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(4\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - начальная скорость тела. Движение материальной точки в рассматриваемом случае можно представить сумму двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное горизонтально. Это равномерное движение с неизменной скоростью ${\overline{v}}_0$ в горизонтальном направлении и равноускоренное движение с ускорением $\overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.
В проекциях на оси X и Y имеем:
\[\left\{ \begin{array}{c}
v_x=v_0 \\
v_y=-gt \end{array}
\left(5\right).\right.\]
Величина скорости перемещения частицы равна:
\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{v^2_0+g^2t^2}\left(6\right).\]
Уравнение для вектора перемещения тела, в нашем случае:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}(7),\]
где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=y\ (t=0)=h_0$. Уравнение (7) даст два скалярных выражения для координат падающей частицы:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x=v_0t \\
y{=h}_0-\frac{gt^2}{2} \end{array}
\left(8\right).\right.\]
Как уже говорилось, каждое из двух отдельных движений тела происходит по прямой, но траекторией движения падающего тела является ветвь параболы, находящаяся в плоскости в которой лежат ${\overline{v}}_0$ и $\overline{g}$.
Исключив время, как параметр, из системы (8) получим уравнение траектории движения точки:
\[t=\frac{x}{v_0};;\ y{=h}_0-\frac{g{\left(\frac{x}{v_0}\right)}^2}{2}\to y=h_0-\frac{gx^2}{{2v}^2_0}\left(9\right).\]
Максимумом траектории тела в рассматриваемом случае является точка бросания.
Время полета, дальность полета тела брошенного горизонтально
Время полета тела можно выразить из второго уравнения системы (8), если предположить, что в момент падения ордината точки $y=0$:
\[y{=h}_0-\frac{g{t_{pol}}^2}{2}=0\to h_0=\frac{g{t_{pol}}^2}{2}\to t_{pol}=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\left(10\right).\]
Дальность полета (s) - это расстояние, которое тело преодолело по горизонтали (по оси X). Его найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (8):
\[s=v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\ \left(11\right).\]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Напишите уравнения траектории движения материальной точки М для случая, который изображен на рис. 2.
Решение. В качестве основы для решения задачи применим кинематическое уравнение для перемещения при равноускоренном движении материальной точки:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(1.1\right).\]
Рассматривая рис.2 запишем проекции векторного уравнения (1.1) на оси системы координат. В проекции на оси X и Y выражение (1.1) превращается в систему скалярных уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x=x_0+v_0t, \\
y=y_0-\frac{gt^2}{2} \end{array}
\left(1.2\right).\right.\]
Для того чтобы получить уравнение траектории движения точки М выразим из первого уравнения системы (1.2) время и подставим его во второе уравнение:
\[t=\frac{x-x_0}{v_0};;\ y=y_0-\frac{g}{2}{\left(\frac{x-x_0}{v_0}\right)}^2.\]
Ответ. $y=y_0-\frac{g}{2}{\left(\frac{x-x_0}{v_0}\right)}^2$
Пример 2
Задание. Вертолет, летевший горизонтально на высоте $H$ со скоростью $v_0$, сбросил груз. За какое время до пролета вертолета над целью он должен сбросить груз, чтобы попасть в цель? Груз считать материальной точкой, сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сделаем рисунок.
Запишем начальные условия движения груза:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x(t=0)=0, \\
y\ (t=0)=H, \\
v_{0x}=v_0, \\
v_{0y}=0 \end{array}
\right.\left(2.1\right).\]
Нам следует найти время полета груза. Зная, что движение груза происходит в поле тяжести Земли, начальные условия заданы (2.1). При этом время полета можно найти, используя формулу, которая получена в теоретической части статьи:
\[t_{pol}=\sqrt{\frac{2H}{g}.}\]
Ответ. $t_{pol}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$
Читать дальше: условия плавания тел в жидкости.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 462 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
