Сила притяжения между двумя материальными точками прямо пропорциональна произведению масс этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[F=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2}(4).\]Закон всемирного тяготения, сила тяжести
Основные понятия для силы тяжести и закона всемирного тяготения
Исследуя нормальное ускорение, которое возникает при движении Луны вокруг Земли, И. Ньютон пришел к выводу о том, что все тела в природе притягиваются друг к другу с некоторой силой, названной силой тяготения. При этом ускорение, которое вызывается действием данной силы обратно пропорционально квадрату расстояния между рассматриваемыми, воздействующими друг на друга телами.
Допустим, что два точечных тела, имеющих массы $m_1\ и\ m_2$ находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Эти тела взаимодействуют с силами:
\[F_1=m_1a_1\ и\ F_2=m_2a_2\left(1\right).\]В соответствии с третьим законом Ньютона, модули сил равны:
\[F_1=F_2\left(2\right).\]Из сказанного выше об ускорении и на основании (2) получим:
\[\frac{m_1K_1}{r^2}=\frac{m_2K_2}{r^2}\left(3\right).\]Формула (3) будет справедлива, если $K_1$=$\gamma m_2$, а $K_2$=$\gamma m_1$, где $\gamma $ некоторая постоянная. Тогда:
\[F=m_1a_1=\frac{m_1K_1}{r^2}=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2},\]где $\gamma =6,67\cdot {10}^{-11}\frac{Н\cdot м^2}{{кг}^2}$ - гравитационная постоянная.
Формулировка закона всемирного тяготения
Определение
Строго говоря, формулу (4) можно использовать для вычисления силы тяготения между однородным шарами с массами $m_1{\ и\ m}_2$, считая, что $r$ расстояние между центрами шаров.
Для того чтобы найти силы тяготения, которые действуют на одно тело со стороны другого тела, при этом тела точечными считать нельзя, поступают следующим образом. Оба тела теоретически делят на элементы, которые можно приять за точечные массы. Находят силы тяготения, которые действуют на один выбранный элемент первого тела со стороны всех элементов другого тела, получают силу, которая действует на рассматриваемую точку первого тела. Далее операцию повторяют для каждой точки первого тела. Полученные силы складывают с учетом их направлений. В результате получается сила тяготения, с которой второе тело действует на первое. Такая задача является весьма сложной.
Сила тяжести
Определение
Сила тяжести (сила притяжения к Земле) является частным случаем появления силы всемирного тяготения. Обозначим силу тяжести как $F_t$. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила равна:
\[F_t=\gamma \frac{mM}{{\left(R+h\right)}^2}\left(5\right),\]где $m$ - масса тела, притягиваемого к Земле; $M$ - масса Земли; $R$ - радиус Земли; $h$ - высота тела над поверхностью Земли.
Сила тяжести направлена к Центру Земли. В задачах, если размер Земли много больше, чем рассматриваемые тела, считают, что сила тяжести направлена вертикально вниз.
Сила тяжести сообщает телам, находящимся около поверхности Земли ускорение, которое называют ускорением свободного падения, обозначают его как $\overline{g}$. По второму закону Ньютона имеем:
\[\overline{g}=\frac{{\overline{F}}_t}{m}\left(6\right).\]Учитывая выражение (5), имеем:
\[\left|\overline{g}\right|=\gamma \frac{M}{{\left(R+h\right)}^2}\left(7\right).\]Непосредственно на поверхности Земли (при $h=0$) величина ускорения свободного падения равна:
\[g=\gamma \frac{M}{R^2}\left(8\right),\]величина ускорения свободного падения, вычисленная из (8) приблизительно равна $g\approx 9,8\ \frac{м}{с^2}.$ Следует знать, что даже у поверхности Земли модуль ускорения свободного падения не везде одинаков, так как Земля не является идеальным шаром, и она вращается вокруг своей оси и движется по криволинейной траектории вокруг Солнца.
Используя второй закон Ньютона и выражение (8) силу тяжести записывают как:
\[{\overline{F}}_t=m\overline{g}\left(9\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова сила тяготения двух тел, массы которых равны ${m=10}^4\ кг,$ если расстояние между их центрами составляет $r=100$м? Тела считайте однородными шарами.
Решение. Так как по условию задачи масса тел обладает сферической симметрией (однородные шары), то для вычисления силы тяготения можно воспользоваться формулой:
\[F=\gamma \frac{m_1m_2}{r^2}\left(1.1\right).\]Учитывая равенство масс тел выражение (1.1) преобразуем к виду:
\[F=\gamma \frac{m^2}{r^2}.\]Вычисли искомую силу:
\[F=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\left({10}^4\right)}^2}{{\left({10}^2\right)}^2}=6,67\cdot {10}^{-7}\left(Н\right).\]Ответ. $F=6,67\cdot {10}^{-7}$Н
Пример 2
Задание. Некоторое тело, находящееся на полюсе Земли, бросили вертикально вверх со скоростью $v_0$. На какую высоту ($h$) поднимется это тело? Считайте, что известны радиус Земли ($R$) и ускорение свободного падения ($g$). Сопротивление воздуха не учитывайте.
Решение. Решать задачу будем на основе закона сохранения механической энергии, так как сил сопротивления нет, система консервативна. Тело в момент броска имеет кинетическую энергию:
\[E_k=\frac{mv^2_0}{2}\left(2.1\right).\]Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли на поверхности последней равна:
\[E_p=\gamma \frac{mM}{R^2}\left(2.2\right),\]где $M$ - масса Земли. Когда тело достигает точки максимального подъема, оно имеет только потенциальную энергию:
\[E_p'=\gamma \frac{mM}{{(R+h)}^2}\left(2.2\right),\]Из закона сохранения энергии имеем:
\[E_k+E_p=E_p'=\frac{mv^2_0}{2}+г\frac{mM}{R^2}=\gamma \frac{mM}{{\left(R+h\right)}^2}\to \frac{v^2_0}{2}+г\frac{M}{R^2}=\gamma \frac{M}{{\left(R+h\right)}^2}\left(2.3\right).\]Принимая во внимание, что
\[g=\gamma \frac{M}{R^2}(2.4)\]получим:
\[h=\frac{R}{\frac{2gR}{v^2_0}-1}.\]Ответ. $h=\frac{R}{\frac{2gR}{v^2_0}-1}$
Читать дальше: закон Паскаля для жидкостей и газов.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
