Известны числовые значения выборки X, параметры соответствуют нормальному распределению. Среднеквадратическое отклонение $\sigma$ для закона данного распределения также известно. Необходимо определить матожидание а по выборочной средней $\bar{x}_B$. При нормальном распределении самой случайной величины X, выборочная средняя $\bar{x}$, определённая на основе независимых наблюдений, тоже будет следовать нормальному закону распределения Характеристики распределения:
$M(\bar{x})=a, \sigma(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$,
Потребуем, чтобы выполнялось условие:
$P(|\bar{x}-a|<s)=\gamma$,
Где $\gamma$ — заданная надёжность
Если Х относится к величинам распределённым нормально, то можно утверждать, что вероятность выполнения неравенства
$|\bar{x}-a|$,
вычисляется с помощью следующего выражения:
$P(|\bar{x}-a|<s)= 2Ф(\frac{s}{\sigma(\bar{x})}) $,
Далее остаётся только рассчитать необходимую нам вероятность, учитывая, что
$\sigma(\bar{x})= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
тогда выражение примет вид:
$ P(|\bar{x}-a|<s)= 2Ф(\frac{s}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}})})=2Ф(\frac{s{\sqrt{n}}}{\sigma})=2Ф(t) $
Зная выражение для t, записываем:
$t=\frac{s{\sqrt{n}}}{\sigma}$
и выражаем далее s:
$s= \frac{t\sigma}{\sqrt{n}} $
Подставляем полученные выражения в исходную формулу и получаем
$P(|\bar{x}-a|<\frac{t\sigma}{\sqrt{n}} )=2Ф(t) =\gamma$
Данная величина $\gamma$ является заданной и определяется как надежность вычисленного итога. При этом получаем:
$Ф(t) =\frac{\gamma}{2}$
Теперь по таблице, в которой определены параметры функции Лапласа, можем отыскать значение аргумента t и получить доверительный интервал, подставив его в выражение:
$\bar{x}-\frac{t\sigma}{\sqrt{n}} <a<\bar{x}+\frac{t\sigma}{\sqrt{n}} $
