Нормальное распределение случайных величин находит широкое применение при решении практических задач. В частности, данное явление объясняется центральной предельной теоремой. Существует несколько разновидностей этой теоремы: локальная, сформулированная Ляпуновым, теорема Линдберга, теорема для мартингалов. Далее приведена одна из наиболее распространённых её формулировок — классическая.

Определение 1. Теорема

Предположим, у нас имеется последовательность с неограниченным (бесконечным) числом элементов. Каждый из них представляет собой случайную величину. Данные величины независимы и одинаково распределены. Их матожидание и дисперсия обладают конечным значением.

Допустим

$S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$

В таком случае

$\frac{S_n-\mu n}{\sigma\sqrt{n}}\rightarrow N(0,1)$ по распределению при $n\rightarrow\infty$

Где $\mu$, $\sigma^2$ матожидание и дисперсия.

Теперь введём новое обозначение, пусть $\bar{X}$ среднее выборки первых n элементов, тогда верно равенство:

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

В таком случае будет верным переписать первоначальное равенство к виду:

$\frac{\bar{X}-\mu n}{\sigma/\sqrt{n}}\rightarrow N(0,1)$ по распределению при $n\rightarrow\infty$

То есть, в том случае когда случайная величина Х представляет собой сумму большого количества независимых случайных величин, каждая из которых сама по себе оказывает совершенно незначительное влияние на изменение общей картины распределения, то для такой суммарной случайной величины закон распределения можно считать близким к нормальному.

Например, возьмём расход газа в бытовых целях в обычных городских квартирах. Представим значение расхода газа всем домом как сумму n независимых случайных величин, каждая из которых — расход газа в одной, отдельно взятой квартире.

В случае, если уровень расхода ни в одной из квартир существенно не выделяется на фоне остальных, тогда, используя теорему Ляпунова, допустимо утверждать, что общедомовой расход газа, то есть сумма всех поквартирных расходов, будет приближённо соответствовать нормальному закону распределения.

Если же в доме разместится котёл обогрева, потребляющий газа в разы больше, чем среднестатистическая квартира, то прогноз о том, что суммарная случайная величина будет иметь нормальный закон распределения может оказаться не верен, так как основной вклад в эту сумму будет вносить котел и сумма в наибольшей степени будет зависеть именно от того закона распределения, которому подчиняется расход газа на обогрев.

Примеры и формулы

Пример 1

При исследовании упавшего метеорита был обнаружен редкий химический элемент. Его концентрация равнялась 0,1%. Требуется узнать, данное значение х=0,1% аномальное, либо его можно рассматривать как случайное отклонение фоновых концентраций. При этом исследованиями также установлено, что среднее количество и типовое отклонение фоновых концентраций имеют следующие значения: $\bar{x}=0,003$%, $S_x=0,02$%.

Задачу можно решать двумя путями. Во-первых, можно использовать представление о том, что закон распределения относящийся к фоновым концентрациям будет соответствовать нормальному закону распределения. Во-вторых, решение можно основывать на том, что данный закон распределения отличается от нормального и изначально при решении считать его неизвестным.

Решение:

1) Для первого случая записываем выражение:

$P(x>t_x)=1-F(t_x)=1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{t_x} e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

Далее, разделяя интервал и представляя его как сумму двух интегралов получаем запись следующего вида:

$1-(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{z^2}{2}}dz + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{t_x} e^{-\frac{z^2}{2}}dz)$

Раскрываем скобки:

$1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{z^2}{2}}dz - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{t_x} e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

Значение первого интеграла 0,5, что и запишем, получив следующее выражение:

$1-0,5 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{t_x} e^{-\frac{z^2}{2}}dz=0,5 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{t_x} e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

Значение $t_x$ можно вычислить следующим образом:

$t_x= \frac{x-\bar x }{\sigma_x} = \frac{0,1- 0,03}{0,02} = \frac{0,07}{0,02} = 3,5$

Применительно к полученной ранее формуле можно записать: $P(x>t_x)=0,5-Ф(3,5)=0,0003$

Как результат можно сделать вывод, что вероятность найти фоновые концентрации критически мала, а значит обнаруженную ранее концентрацию допустимо считать аномально высокой.

2) Во втором случае проведём расчёт, предполагая, что мы не знаем, какому закону распределения подчиняется распределение концентраций. Для этого воспользуемся неравенством Чебышева:

$P(|\frac{ x-\bar x }{\sigma}|\geq t) \leq\frac{1}{t^2}$

где t — неизвестное число, однако его можно рассчитать, если воспользоваться частью данного выражения:

$t=\frac{ |x-\bar x| }{\sigma}= \frac{ 0,1-0,03 }{0,02}=3,5$

Рассчитаем значение для правой части выражения, получим:

$P\leq0,0816$

а значит и при расчёте во втором случае мы получаем тот же вывод — концентрация является аномальной.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 463 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Предположим, что биатлонист на тренировке по стрельбе совершает подряд множество выстрелов. Вероятность, что каждый раз он может промахнуться составляет 0,2. Необходимо вычислить вероятность того, что если случайным образом взять в рассмотрение 50 выстрелов из нескольких сотен, совершённых за день, то среди них окажется не меньше 6 промахов.

Решение

Чтобы применить теорему Муавра - Лапласа вычислим математическое ожидание, а также найдём дисперсию от количества промахов в 50 выстрелах:

$m_x=np=50\cdot0,2=10$

$D_x=npq=50\cdot0,2\cdot 0,8=8$

Уточняя условие, понимаем, что задача предлагает определить вероятность события, когда промахов будет от 6 до 50:

$P(6\leq X\leq50)=\frac{1}{2}(Ф(\frac{50-10}{\sqrt{16}})-Ф(\frac{6-10}{\sqrt{16}}))=\frac{1}{2}(Ф(10)+Ф(1))=0,5\cdot (1+0,8427)=0,92135$

Функция Лапласа определяется по таблице. У неё нет значения Ф(10) в таблице, но все значения но так как Ф(3)=1,00, то любые большие значения также принимаются равными 1.

Ответ: вероятность события 0,92135.