WebMath

Решение линейных дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Обыкновенное дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной $ x $, неизвестной функции $ y = f(x) $ и её производных (или дифференциалов).

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Содержание:

Решение линейных дифференциальных уравнений

Коэффициент при y′′y''. Он не должен быть равен нулю.

Коэффициент при y′y'.

Коэффициент при yy.

Формулы

Характеристическое уравнение

Сначала решается характеристическое уравнение, а затем по его корням строится общее решение дифференциального уравнения.

ar2+br+c=0,D=b2−4acar^2+br+c=0,\qquad D=b^2-4ac

Пояснения

Как решается уравнение второго порядка

Для уравнения ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0 сначала строится характеристическое уравнение ar2+br+c=0ar^2+br+c=0.

Дальше решение зависит от вида его корней: при разных действительных корнях используются экспоненты, при кратном корне появляется множитель xx, а при комплексных корнях ответ записывается через синус и косинус.

Примеры

Два разных действительных корня

Характеристическое уравнение имеет разные корни.

y′′−3y′+2y=0y''-3y'+2y=0

Кратный корень

Случай с нулевым дискриминантом.

y′′−2y′+y=0y''-2y'+y=0

Комплексные корни

Характеристическое уравнение имеет комплексную пару.

y′′+2y′+5y=0y''+2y'+5y=0

Правила ввода

Как вводить коэффициенты

  • Вводите числовые коэффициенты a, b и c для уравнения вида ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0.

  • Можно использовать отрицательные числа и десятичные дроби.

  • Коэффициент a не должен быть равен нулю, иначе уравнение не будет второго порядка.

Как строится решение

  • Сначала составляется характеристическое уравнение ar2+br+c=0ar^2+br+c=0.

  • Затем вычисляется дискриминант D=b2−4acD=b^2-4ac.

  • По виду корней характеристического уравнения записывается общее решение для функции y(x)y(x).

Вопросы и ответы

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0 строится характеристическое уравнение ar2+br+c=0ar^2+br+c=0. Его корни определяют вид общего решения.

Если характеристическое уравнение имеет два разных действительных корня r1r_1 и r2r_2, то решение имеет вид y(x)=C1er1x+C2er2xy(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.

Если дискриминант равен нулю, характеристическое уравнение имеет кратный корень rr. Тогда общее решение записывается как y(x)=(C1+C2x)erxy(x)=(C_1+C_2x)e^{rx}.

Если корни имеют вид α±βi\alpha\pm\beta i, то решение записывается как y(x)=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x).

Для квадратных уравнений используйте калькулятор квадратных уравнений, для кубических — калькулятор кубических уравнений, а для интегралов — калькулятор интегралов.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии