WebMath

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Содержание:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Формулы

Метод Гаусса для системы 2×2

Система приводится к ступенчатому виду, после чего переменные находятся обратной подстановкой.

[a11a12b1a21a22b2]\left[\begin{array}{cc|c}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\end{array}\right]

Метод Гаусса для системы 3×3

Расширенная матрица системы последовательно упрощается до треугольного вида.

[a11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3]\left[\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3\end{array}\right]

Пояснения

Как работает метод Гаусса

Метод Гаусса решает систему линейных уравнений через последовательное исключение переменных. Сначала система переводится в матричную форму, затем приводится к ступенчатому виду.

После этого выполняется обратный ход: значения неизвестных находятся начиная с последней строки. Именно этот процесс и показывает калькулятор в шагах решения.

Примеры

Система 2×2

Пример с двумя неизвестными.

{2x+y=5x−y=1\begin{cases}2x+y=5 \\ x-y=1\end{cases}

Система 3×3

Пример с тремя неизвестными.

{x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=3\begin{cases}x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=3\end{cases}

Треугольная система

Система, где обратный ход особенно нагляден.

{x+y+z=4y+z=2z=1\begin{cases}x+y+z=4 \\ y+z=2 \\ z=1\end{cases}

Правила ввода

Как вводить систему

  • Выберите размер системы: 2×2 или 3×3.

  • Введите коэффициенты при неизвестных и правые части всех уравнений.

  • Можно использовать целые, отрицательные и дробные числа.

Что делает метод Гаусса

  • Система записывается в виде расширенной матрицы.

  • С помощью элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому виду.

  • После этого неизвестные находятся обратной подстановкой.

Вопросы и ответы

Это способ решения системы линейных уравнений, при котором коэффициенты записываются в виде расширенной матрицы, а затем с помощью элементарных преобразований приводятся к ступенчатому виду.

Если после приведения к ступенчатому виду для каждой переменной находится свой ведущий элемент, система имеет единственное решение.

Это означает, что после преобразований появляется строка вида:

0=ненулевое число0=\text{ненулевое число}

В таком случае решений у системы нет.

Если одна или несколько строк оказываются линейно зависимыми и не дают нового ограничения, система имеет бесконечно много решений.

Для квадратных уравнений используйте калькулятор квадратных уравнений, для кубических — калькулятор кубических уравнений, а для метода Крамера — отдельный калькулятор Крамера.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии