WebMath

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Содержание:

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Формулы

Формулы Крамера для системы 2×2

Сначала находится главный определитель, затем определители для каждой переменной.

Δ=∣a11a12a21a22∣,x=ΔxΔ,y=ΔyΔ\Delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},\qquad x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}

Формулы Крамера для системы 3×3

Для каждой неизвестной строится свой определитель с заменой соответствующего столбца.

Δ=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣,x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔ\Delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix},\qquad x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}

Пояснения

Как работает метод Крамера

Метод Крамера решает квадратную систему линейных уравнений через определители. Сначала составляется основная матрица коэффициентов и находится ее определитель.

Затем по очереди строятся матрицы, в которых один из столбцов коэффициентов заменяется столбцом свободных членов. По полученным определителям вычисляются значения неизвестных.

Примеры

Система 2×2

Пример с двумя неизвестными.

{2x+y=5x−y=1\begin{cases}2x+y=5 \\ x-y=1\end{cases}

Система 3×3

Пример с тремя неизвестными.

{x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=3\begin{cases}x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=3\end{cases}

Система с явным решением

Пример, где определители удобно проверить вручную.

{3x+2y=7x−y=1\begin{cases}3x+2y=7 \\ x-y=1\end{cases}

Правила ввода

Как вводить систему

  • Выберите размер системы: 2×2 или 3×3.

  • Введите коэффициенты при неизвестных и правые части всех уравнений.

  • Можно использовать целые, отрицательные и дробные числа.

Когда работает метод Крамера

  • Метод применяется только к квадратным системам, где число уравнений равно числу неизвестных.

  • Главный определитель основной матрицы должен быть отличен от нуля.

  • Если главный определитель равен нулю, правило Крамера не дает единственного решения.

Вопросы и ответы

Это способ решения квадратной системы линейных уравнений через определители. Сначала вычисляется главный определитель системы, а затем для каждой неизвестной считается свой вспомогательный определитель.

Метод Крамера применим только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю:

Δ≠0\Delta \neq 0

В этом случае система имеет единственное решение.

Если

Δ=0\Delta = 0

то правило Крамера не позволяет найти единственное решение. Система может оказаться либо несовместной, либо иметь бесконечно много решений.

Для системы из двух или трех уравнений неизвестные находятся по формулам:

x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔx=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}

Для метода Гаусса используйте калькулятор метода Гаусса. Для квадратных уравнений доступен калькулятор квадратных уравнений, а для кубических — калькулятор кубических уравнений.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии