Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Пусть требуется найти неопределенный интеграл $\int f(x) d x$. Предположим, что существуют дифференцируемые функции $u=\phi(x)$ и $v=g(u)$ такие, что
$f(x) d x=g(\phi(x)) d \phi(x)=g(\phi(x)) \phi^{\prime}(x) d x=g(u) d u$
Тогда
$\int f(x) d x=\int g(\phi(x)) \phi^{\prime}(x) d x=\int g(u) d u$
Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.
Тогда, если $\int f(x) d x=F(x)+C$ и $u=\phi(x)$, то имеет место следующее равенство:
$\int f(u) d u=F(u)+C$
Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала полезны следующие равенства для дифференциалов:
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \sin ^{2} x \cos x d x$
Решение. Сначала внесем косинус под знак дифференциала
$\int \sin ^{2} x \cos x d x=\int \sin ^{2} x d(\sin x)$
Так как $\int t^{2} d t=\frac{t^{3}}{3}+C$, то
$\int \sin ^{2} x \cos x d x=\int \sin ^{2} x d(\sin x)=\frac{\sin ^{3} x}{3}+C$
Ответ. $\int \sin ^{2} x \cos x d x=\frac{\sin ^{3} x}{3}+C$
Пример
Задание. Найти неопределенный интеграл $\int \operatorname{tg} x d x$
Решение. Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса, затем внесем синус под знак дифференциала
$\int \operatorname{tg} x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x=\int \frac{-d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$
Ответ. $\int \operatorname{tg} x d x=-\ln |\cos x|+C$
Читать дальше: интегрирование заменой переменной.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Неопределенный интеграл