Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение
Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y=f(x)$ на промежутке $(a ; b)$, конечном или бесконечном, если функция $F(x)$ дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
$F^{\prime}(x)=f(x)$
Последнее равенство можно записать через дифференциалы:
$\frac{d F}{d x}=f(x)$ или $d F=f(x) d x$
Пример
Функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$ является первообразной для функции $f(x)=x$, так как
$F^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot 2 x=x=f(x)$
Первообразная $F(x)$ имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.
Теорема
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором промежутке, то и функция $\Phi(x)=F(x)+C$, где $C$ - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции $f(x)$ на рассматриваемом промежутке.
Пример
Известно, что для функции $f(x)=x$ первообразной является функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$, а, следовательно, и все функции вида $\Phi(x)=F(x)+C, C=const$ также будут первообразными, так как выполняется равенство $\Phi^{\prime}(x)=f(x)$:
$\Phi^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)^{\prime}=\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime}+(C)^{\prime}=x+0=f(x)$
Таким образом, если функция $y=f(x)$ имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.
Теорема
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции $F(x)$ и $\Phi(x)$ - две любые первообразные функции $y=f(x)$, то их разность равна некоторой постоянной, то есть
$$\Phi(x)-F(x)=C=\text { const }$$Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции $f(x)$, может быть представлена в виде $F(x)+C$.
Определение
Совокупность всех первообразных функции $y=f(x)$, определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции $y=f(x)$ и обозначается символом $\int f(x) d x$. То есть
$\int f(x) d x=F(x)+C$
Знак $\int$ называется интегралом, $f(x) d x$ - подынтегральным выражением, $f(x)$ - подынтегральной функцией, а $x$ - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции $f(x)$ называется интегрированием функции $f(x)$. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых $F(x)+C$, где каждому конкретному числовому значению постоянной $C$ соответствует определенная кривая из указанного семейства.
График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.
Теорема
Каждая непрерывная на промежутке $(a ; b)$ функция, имеет на этом интервале первообразную.
Читать дальше: свойства неопределенного интеграла.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Свойства интеграла