Методы интегрирования правильных рациональных дробей

Рациональная дробь   $\frac{x+1}{x^{2}-2}$   является правильной.

Выражения   $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-2}$   и   $\frac{x^{3}-3 x+1}{x^{2}-2}$   - неправильные рациональные дроби.

Задание. Представить неправильную дробь  $\frac{x^{2}+x-7}{x+1}$  в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Поделим числитель на знаменатель дроби в столбик (деление проводится до тех пор, пока степень остатка не будет меньше степени делителя):

Таким образом,

$$\frac{x^{2}+x-7}{x+1}=x+\frac{-7}{x+1}=x-\frac{7}{x+1}$$

Ответ.  $\frac{x^{2}+x-7}{x+1}=x-\frac{7}{x+1}$ 

Задание. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x$

Решение. Так как подынтегральная функция  $\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}$  является неправильной рациональной дробью (так как степень числителя больше степени знаменателя), то выделим целую часть, для этого числитель поделим на знаменатель в столбик:

То есть,

$$\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}$$

Тогда интеграл

$$\begin{array}{c} \int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x=\int\left(x-1+\frac{1}{x-1}\right) d x= \\ =\int x d x-\int d x+\int \frac{d x}{x-1}=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln |x-1|+C \end{array}$$

Ответ.  $\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x==\frac{x^{2}}{2}-x+\ln |x-1|+C$