Мощность - это физическая величина, которую использует как основную характеристику любого устройства, которое применяют для совершения работы. Полезная мощность может быть использована для выполнения поставленной задачи.
Формула полезной мощности
Определение и формула полезной мощности
Определение
Отношение работы ($\Delta A$) к промежутку времени за которое она выполнена ($\Delta t$) называют средней мощностью ($\left\langle P\right\rangle $) за это время:
\[\left\langle P\right\rangle =\frac{\Delta A}{\Delta t}\left(1\right).\]Мгновенной мощностью или чаще просто мощностью называют предел отношения (1) при $\Delta t\to 0$:
\[P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta A}{\Delta t}\ }=A'(t)\left(2\right).\]Приняв во внимание, что:
\[\Delta A=\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }\left(3\right),\]где $\Delta \overline{r\ }$ - перемещение тела под действием силы $\overline{F}$, в выражении (2) имеем:
\[P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)\ }=\overline{F}{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)=\ }\overline{F}\cdot \overline{v}\left(4\right),\]где $\ \overline{v}-$ мгновенная скорость.
Коэффициент полезного действия
При выполнении необходимой (полезной) работы, например, механической, приходится выполнять работу большую по величине, так как в реальности существуют силы сопротивления и часть энергии подвержена диссипации (рассеиванию). Эффективность совершения работы определяется при помощи коэффициента полезного действия ($\eta $), при этом:
\[\eta =\frac{P_p}{P}\left(5\right),\]где $P_p$ - полезная мощность; $P$ - затраченная мощность. Из выражения (5) следует, что полезная мощность может быть найдена как:
\[P_p=\eta P\ \left(6\right).\]Формула полезной мощности источника тока
Пусть электрическая цепь состоит из источника тока, имеющего сопротивление $r$ и нагрузки (сопротивление $R$). Мощность источника найдем как:
\[P=?I\ \left(7\right),\]где $?$ - ЭДС источника тока; $I$ - сила тока. При этом $P$ - полная мощность цепи.
Обозначим $U$ - напряжение на внешнем участке цепи, тогда формулу (7) представим в виде:
\[P=?I=UI+I^2r=P_p+P_0\left(8\right),\]где $P_p=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}(9)$ - полезная мощность; $P_0=I^2r$ - мощность потерь. При этом КПД источника определяют как:
\[\eta =\frac{P_p}{P_p+P_0}\left(9\right).\]Максимальную полезную мощность (мощность на нагрузке) электрический ток дает, если внешнее сопротивление цепи будет равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии полезная мощность равна 50\% общей мощности.
При коротком замыкании (когда $R\to 0;;U\to 0$) или в режиме холостого хода $(R\to \infty ;;I\to 0$) полезная мощность равна нулю.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Коэффициент полезного действия электрического двигателя равен $\eta $ =42%. Какой будет его полезная мощность, если при напряжении $U=$110 В через двигатель идет ток силой $I=$10 А?
Решение. За основу решения задачи примем формулу:
\[P_p=\eta P\ \left(1.1\right).\]Полную мощность найдем, используя выражение:
\[P=IU\left(1.2\right).\]Подставляя правую часть выражения (1.2) в (1.1) находим, что:
\[P_p=\eta IU.\]Вычислим искомую мощность:
\[P_p=\eta IU=0,42\cdot 110\cdot 10=462\ \left(Вт\right).\]Ответ. $P_p=462$ Вт
Пример 2
Задание. Какова максимальная полезная мощность источника тока, если ток короткого замыкания его равен $I_k$? При соединении с источником тока сопротивления $R$, по цепи (рис.1) идет ток силой $I$.
Решение. По закону Ома для цепи с источником тока мы имеем:
\[I=\frac{\varepsilon}{R+r}\left(2.1\right),\]где $\varepsilon$ - ЭДС источника тока; $r$ - его внутреннее сопротивление.
При коротком замыкании считаем, что сопротивление внешней нагрузки равно нулю ($R=0$), тогда сила тока короткого замыкания равна:
\[I_k=\frac{\varepsilon}{r}\ \left(2.2\right).\]Максимальная полезная мощность в цепи рис.1 электрический ток даст, при условии:
\[R=r\ \left(2.3\right).\]Тогда сила тока в цепи равна:
\[I'=\frac{\varepsilon}{r+r}=\frac{\varepsilon}{2r}\left(2.4\right).\]Максимальную полезную мощность найдем, используя формулу:
\[P_{p\ max}={I'}^2r={\left(\frac{\varepsilon}{2r}\right)}^2\cdot r=\frac{\varepsilon^2}{4r}=\frac{\varepsilon^2}{4R}\left(2.5\right).\]Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
\[\left\{ \begin{array}{c} I'=\frac{\varepsilon}{2r}, \\ I_k=\frac{\varepsilon}{r}, \\ P_{p\ max}={\left(I'\right)}^2r \end{array} \left(2.6\right).\right.\]Используя первое и второе уравнения системы (2.6) найдем $I'$:
\[\frac{I'}{I_k}=\frac{\varepsilon}{2r}\cdot \frac{r}{\varepsilon}=\frac{1}{2}\to I'=\frac{1}{2}I_k\left(2.7\right).\]Используем уравнения (2.1) и (2.2) выразим внутреннее сопротивление источника тока:
\[\varepsilon=I\left(R+r\right);;\ I_kr=\varepsilon \to I\left(R+r\right)=I_kr\to r\left(I_k+I\right)=IR\to r=\frac{IR}{I_k-I}\left(2.8\right).\]Подставим результаты из (2.7) и (2.8) в третью формулу системы (2.6), искомая мощность будет равна:
\[P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}.\]Ответ. $P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}$
Читать дальше: формула равнодействующей всех сил.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
