Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
В отличии от классического определения вероятности, постулирующего, что все результаты равновероятны, статистический подход к формулированию вероятности более приближен к реальности. Действительно при использовании теории вероятности для работы с прикладными задачами очень редко встречаются исходы, вероятности которых одинаковы, и такие результаты, вероятности которых легко предсказать.
Для реальных явлений часто требуется учесть слишком много факторов для верного прогноза вероятности. Чтобы рассмотреть возможность оценки вероятности, исходя из других вводных, необходимо ввести определение относительной частоты вероятности.
Определение 1
Отношение количества появления события к суммарному количеству проведённых испытаний называется относительной частотой события.
$W(X)= \frac{k}{m}$
Где k — число результатов благоприятствующих событию Х, m — суммарное количество проведённых экспериментов, в результате которых могло наступить событие Х.
Параметр относительная частота применяется в тех случаях, когда сложно или невозможно выявить всё множество элементарных результатов эксперимента.
Пример 1
Рассмотрим ограниченную территорию, на которой в течение последних 50 лет происходили цунами. Всего было зафиксировано 20 мощных явлений и 40 слабых. Необходимо вычислить величину относительной частоты появления мощных цунами.
Вычислим суммарное количество всех цунами, которые происходили в рассматриваемом регионе:
m=20+40=60, при этом, сильных цунами было 20.
Исходя из определения вычислим значение относительной частоты
$W(A)=\frac{20}{60}=0,33$
Получили, что относительная частота сильных цунами составляет 0,33.
Пример 2
Рассмотрим событие — появление какого-либо конкретного числа при подбрасывании шестигранного кубика. Выделим среди прочих два события:
• появление двойки,
• появление тройки или четвёрки.
В ходе проведения эксперимента кубик бросили 120 раз. При этом двойка появилась 22 раза — событие Х, а тройку, либо четвёрку наблюдали 39 раз — событие Y.
Согласно классическому определению вероятности, появление одного любого числа при бросании кубика будет в одном случае из шести $P=\frac {1}{6}=0,167$. А значит мы могли предсказать появление двойки в $\frac{120}{6}=20$ случаях, а появление тройки, либо четвёрки в $2 \cdot \frac{120}{6}$=40 случаях.
Однако, было проведено испытание и можно вычислить экспериментальное значение вероятности, точнее аналогичную ему величину — относительную частоту события.
$W(X)=\frac{22}{120}=0,183$
$W(Y)=\frac{39}{120}=0,325$
Итак, относительная частота появления двойки в данном эксперименте составила $W(X)=0,183$ (классическая вероятность 0,167), а относительная частота появления тройки или четвёрки составила $W(Y)=0,325$ (классическая вероятность 0,334). При увеличении числа экспериментов значение относительной частоты будет приближаться к значению классической вероятности.
Относительная частота обладает тем недостатком, что сильно варьируется при проведении различных экспериментов, является неоднозначной. Однако её колебания происходят в пределах около значения фактической вероятности. И чем больше проведено экспериментов, тем ближе лежит относительная частота к вероятности.
В теории вероятности относительная частота имеет значение как оценка вероятности статистическими методами по всей совокупности исходов конкретного эксперимента. При этом она будет достаточна близка к оцениваемому параметру, который принято называть статистическая вероятность.
Определение 2
Отношение количества конкретных экспериментов к общему числу испытаний (относительная частота) характеризует статистическую вероятность тем точнее, чем большее количество экспериментов было проведено, а значит можно записать следующее определение для статистической вероятности:
$P(X)= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{k}{m}$
Покажем, что значение относительной частоты стремится к значению вероятности.
Пример 3
Рассмотрим простой пример с подбрасыванием монетки. Классическая вероятность того, что выпадет любая из сторон составляет 0,5. Пусть событие Х — выпадение «орла». Вычислим относительную частоту выпадения «орла» при разном количестве подбрасываний монетки.
Вычислим относительную частоту
$W(X_1)=\frac{2}{3}=0,67$
$W(X_2)=\frac{6}{10}=0,6$
$W(X_3)=\frac{56}{100}=0,56$
$W(X_4)=\frac{5135}{10000}=0,5135$
Чем больше будет сделано бросков, тем реже будут встречаться аномальные результаты, такие как повторное выпадение «орла» и тем меньшее значение они будут иметь для вычисления.
Классическое определение вероятности является именно теоретическим, вероятность в этом случае вычисляется с помощью анализа предполагаемых обстоятельств события, то есть даётся прогноз о том, насколько ожидаемо выполнение этого события. Ключевое же отличие относительной частоты от вероятности в том, что её значение получается экспериментально и её нельзя определить заранее, а можно вычислить только после завершения эксперимента.
Так, например, если взять выпуск деталей на производстве, то предварительно оценить процент брака можно основываясь на состоянии оборудования, на квалификации персонала, на качестве сырья. Однако, фактические сведения о браке будут получены только после начала процесса производства.
Пример 4
На заводе было изготовлено 10000 деталей. Отдел технического контроля изучил продукцию и установил, что из всего количества 100 изделий являются бракованными, а 2000 следует отнести ко второму сорту.
Необходимо вычислить относительную частоту появления бракованных деталей, изделий первого и второго сорта.
Решение
Сначала следует вычислить количество изделий первого сорта.
$k_1=m-k_2-k_br=10000-2000-100=7900$
Определим требуемые параметры:
$W(k_1)=\frac{7900}{10000}=0,79$
$W(k_2)=\frac{2000}{10000}=0,2$
$W(k_3)=\frac{100}{10000}=0,01$
В результате получим относительную частоту деталей первого сорта $W(k_1)=0,79$, второго сорта$W(k_2)=0,2$ , брака$W(k_3)=0,01$.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Теорема сложения вероятностей