Исследование функции и построение ее графика

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}$ и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

$D(y) : x^{2}-2 x \neq 0 \Rightarrow x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 2 \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ; 2) \cup(2 ;+\infty)$

2) Четность, нечетность.

$y(-x)=\frac{(-x)^{2}-(-x)-1}{(-x)^{2}-2 \cdot(-x)}=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2 x} \neq \left\{\begin{array}{l}{y(x)} \\ {-y(x)}\end{array}\right.$

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью $O x : y=0$ :

$\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}=0 \Rightarrow x^{2}-x-1=0 \Rightarrow$

$\Rightarrow x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

то есть точки $A_{1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0\right), A_{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0\right)$

б) с осью $O y : x=0$ : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые $x=0$ и $x=2$ - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}=1$

то есть прямая $y=1$ - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты $y=k x+b$ :

$k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x-1}{x\left(x^{2}-2 x\right)}=0$

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

$y^{\prime}=\left(\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}\right)^{\prime}=\frac{(2 x-1)\left(x^{2}-2 x\right)-\left(x^{2}-x-1\right)(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=$

$=\frac{2 x^{3}-4 x^{2}-x^{2}+2 x-\left(2 x^{3}-2 x^{2}-2 x^{2}+2 x-2 x+2\right)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=$

$=\frac{2 x^{3}-5 x^{2}+2 x-2 x^{3}+4 x^{2}-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=\frac{-x^{2}+2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}$

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: $y^{\prime} \neq 0$ для любого $x$ из области определения функции; $y^{\prime}$ не существует при $x_{1}=0$ и $x_{2}=2$ .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=\left(\frac{-x^{2}+2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\right)^{\prime}=$

$=\frac{(-2 x+2)\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-\left(-x^{2}+2 x-2\right) \cdot 2\left(x^{2}-2 x\right)(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{4}}=$

$=\frac{(-2 x+2)\left(x^{2}-2 x\right)-\left(-x^{2}+2 x-2\right) \cdot 2(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}=$

$=\frac{-2 x^{3}+6 x^{2}-4 x+4 x^{3}-12 x^{2}+16 x-8}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}=$

$=\frac{2 x^{3}-6 x^{2}+12 x-8}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}$

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: $y^{\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и $x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и $(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках $(-\infty ; 0)$ и $(1 ; 2)$ - выпукла. Так как при переходе через точку $x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.