Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
1 Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:
$\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)$
Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{3}-\lim _{x \rightarrow 0} x+\lim _{x \rightarrow 0} 7=0-0+7=7$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)=7$
2 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
$\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]$
Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.
$\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]=\lim _{x \rightarrow 2}(x-1) \cdot \lim _{x \rightarrow 2}(x+2)=$
$=(2-1) \cdot(2+2)=1 \cdot 4=4$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]=4$
3 Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}, \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}$
Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)}{\lim _{x \rightarrow 2}(x-1)}=\frac{1+2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}=4$
4 Константу можно выносить за знак предела:
$\lim _{x \rightarrow a}[c \cdot f(x)]=c \cdot \lim _{x \rightarrow a} f(x)$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)$
Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.
$\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)=\lim _{x \rightarrow-1} 6 x^{2}-\lim _{x \rightarrow-1} 1=$
$=6 \lim _{x \rightarrow-1} x^{2}-1=6 \cdot(-1)^{2}-1=6-1=5$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)=5$
5 Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:
$\lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{n}=\left(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right)^{n}, n \in N$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}$
Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.
$\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}=\left(\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)\right)^{3}=5^{3}=125$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}=125$
Читать дальше: бесконечно малые функции.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Числовые последовательности