Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.
Куб суммы
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение
1
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Проверим это равенство, для этого умножим двучлен $a+b$ на $(a+b)^{2}$: $(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)^{2}=(a+b)\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)=$
$=a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+b a^{2}+2 a b^{2}+b^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$. Выражение $(a+b)^{2}$ было заменено эквивалентным выражением по формуле "квадрат суммы".
Пример
Задание. Раскрыть скобки $(3 x+y)^{3}$
Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $3 x+y$ два раза на себя; второй - используем формулу сокращенного умножения "куб суммы".
1. По определению:
$(3 x+y)^{3}=(3 x+y)(3 x+y)^{2}=(3 x+y)\left(9 x^{2}+6 x y+y^{2}\right)=$
$=27 x^{3}+18 x^{2} y+3 x y^{2}+9 x^{2} y+6 x y^{2}+y^{3}=27 x^{3}+27 x^{2} y+9 x y^{2}+y^{3}$
2. Используя формулу сокращенного умножения:
$(3 x+y)^{3}=(3 x)^{3}+3 \cdot(3 x)^{2} \cdot y+3 \cdot 3 x \cdot(y)^{2}+y^{3}=27 x^{3}+27 x^{2} y+9 x y^{2}+y^{3}$
Как видно, использование формулы сокращенного умножения значительно упростило и ускорило решение.
Читать следующую тему: формула "куб разности".
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Квадрат суммы