Мгновенную скорость определим как предел к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:
\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle v\right\rangle \ }={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\left(2\right).\ }\]Мгновенная скорость
Мгновенная скорость при прямолинейном движении материальной точки
При рассмотрении неравномерного движения часто интересует не средняя скорость движения тела, а скорость в определенный момент времени, или мгновенная скорость. Так, если тело стукнулось о препятствие, то сила воздействия тела на препятствие в момент удара, определено скоростью в момент соударения, а не средней скоростью движения тела. Форма траектории перемещения снаряда и его дальность полета зависит от скорости в момент запуска, а не от средней скорости.
Средняя скорость ($\left\langle v\right\rangle $) движения материальной точки по оси X равна:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{\Delta x}{\Delta t}\left(1\right),\]$\Delta t$ - промежуток времени движения тела.
Определение
Такой предел в математике называют производной:
\[v=\frac{dx}{dt}=\dot{x}\left(3\right).\]Выражение (3) обозначает, что мгновенная скорость (скорость в определенный момент времени) - производная от координаты. При прямолинейном движении материальной точки Мгновенную скорость можно определить как производную от пути ($s$) по времени:
\[v=\frac{ds}{dt}=\dot{s}\left(4\right).\]Мгновенная скорость равномерного движения материальной точки
Средняя скорость равномерно движущейся точки величина постоянная, значит, мгновенная скорость равномерно перемещающейся точки является неизменной величиной.
Скорость равномерного движения численно равна тангенсу угла наклона прямой к оси времени (рис.1):
\[v=k\ tg\ \alpha \ \left(4\right),\]где $k$ - безразмерный коэффициент, определяющий отношение масштаба единиц перемещения (ось ординат) и единиц времени (ось абсцисс).
При графическом изображении переменного движения материальной точки мгновенная скорость численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику и осью абсцисс.
Мгновенная скорость при криволинейном движении
Положение материальной точки на траектории зададим радиус-вектором $\overline{r}(t)$, который проведем в точку наблюдения из какой-либо неподвижной точки, которую примем за начало координат. Тогда мгновенной скоростью материальной точки будет векторная величина, равная:
\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}=\dot{\overline{r}}\left(5\right).\]скорость - это вектор, направленный по касательной к траектории движения материальной точки в месте нахождения частицы.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:
\[\left\{ \begin{array}{c} x_1=-3t+4t^2-t^3(м) \\ x_2=t-2t^2-t^3(м) \end{array} \right.\left(1.1\right),\]в какой момент времени скорости этих точек будут равны?
Решение. В задаче речь идет о нахождении времени, когда будут равны мгновенные скорости материальных точек. Величину мгновенной скорости будем находить как:
\[v=\frac{dx}{dt}\left(1.2\right).\]Тогда подставляя по очереди уравнения из системы (1.1) получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_1=\frac{dx_1}{dt}=-3+8t-3t^2 \\ v_2=\frac{dx_2}{dt}=1-4t-3t^2 \end{array} \right.\left(1.3\right).\]Приравняем правые части уравнений в системе (1.3), найдем момент времени в который скорости равны ($v_1=v_2$):
\[-3+8t-3t^2=1-4t-3t^2\to 8t+4t=1+3\to 12t=4\to t=\frac{1}{3}\left(c\right).\]Ответ. $t=\frac{1}{3}$ с
Пример 2
Задание. Материальная точка движется на плоскости XOY. Закон изменения координаты $x$ задан графиком рис.2 . Координата $y\ $задана аналитическим выражением: $y=At(1+Bt)$, где $A$ и $B$ постоянные величины. Запишите выражение, связывающее мгновенную скорость и время ($v(t)$).
Решение. Из рис. 2 мы можем записать уравнение, которое определяет изменение координаты $x$ от времени:
\[x\left(t\right)=At\ \left(2.1\right).\]Получили, что движение материальной точки в плоскости XOY описывают при помощи системы уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} x\left(t\right)=At;;\ \\ y=At\left(1+Bt\right) \end{array} \left(2.2\right).\right.\]Найдем составляющие скорости движения материальной точки:
\[v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(At\right)=A;;\] \[v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left(At\left(1+Bt\right)\right)=A+2ABt.\]Модуль скорости найдем как:
Ответ. $v=A\sqrt{2+2Bt+4B^2t^2}$
Читать дальше: механические волны.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
