Движение тела брошенного горизонтально, теория и онлайн калькуляторы
Движение тела брошенного горизонтально
Постановка задачи. Начальные условия
Рассмотрим движение тела, которое бросили с начальной скоростью ${\overline{v}}_0\ $параллельно Земле (горизонтально) рис.1. с некоторой высоты $h_0.$
Систему отсчета свяжем с Землей. Ось X направим параллельно Земле, ось Y перпендикулярно оси X, вверх. Тело движется под воздействием силы тяжести, если не учитывать силу трения, то другие силы на тело не действуют. Движение тела происходит в плоскости, в которой лежат векторы: начальной скорости тела ${\overline{v}}_0$ и ускорения $\overline{g}.\ $
Начальные условия при рассматриваемом нами движении точки:
\[при\ t=0\ c\left\{ \begin{array}{c}
x_0=0, \\
y_0=h_0, \\
v_{0x}=v_0, \\
v_{0y}=0 \end{array}
\right.\left(1\right).\]
Вектор ускорения при движении под действием силы тяжести считают постоянным:
\[\overline{a}=\overline{g}\left(2\right),\]
так как \textit{ }$\overline{g}$ направлен вертикально вниз, то:
\[\left\{ \begin{array}{c}
a_x=0, \\
a_y=g \end{array}
\right.\left(3\right).\]
где $g\approx $ 9,8 $\frac{м}{с^2}.$
Кинематические уравнения движения тела брошенного горизонтально
Кинематическое уравнение для скорости равнопеременного движения в поле тяжести имеет вид:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(4\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - начальная скорость тела. Движение материальной точки в рассматриваемом случае можно представить сумму двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное горизонтально. Это равномерное движение с неизменной скоростью ${\overline{v}}_0$ в горизонтальном направлении и равноускоренное движение с ускорением $\overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.
В проекциях на оси координат получаем:
\[\left\{ \begin{array}{c}
v_x=v_0 \\
v_y=-gt \end{array}
\left(5\right).\right.\]
Модуль скорости движения точки при этом равен:
\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{v^2_0+g^2t^2}\left(6\right).\]
Уравнение для перемещения тела, брошенного горизонтально, запишем как:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}(7),\]
где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=y_0=h_0$. Векторное уравнение (7) даст два скалярных выражения для координат падающей точки:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x=v_0t \\
y{=h}_0-\frac{gt^2}{2} \end{array}
\left(8\right).\right.\]
Ка уже говорилось, каждое из двух отдельных движений тела происходит по прямой, но траекторией движения падающего тела является ветвь параболы, находящаяся в плоскости в которой лежат ${\overline{v}}_0$ и $\overline{g}$.
Из системы уравнений (8) легко получить уравнение траектории движения точки, исключая из уравнений время:
\[t=\frac{x}{v_0};;\ y{=h}_0-\frac{g{\left(\frac{x}{v_0}\right)}^2}{2}\to y=h_0-\frac{gx^2}{{2v}^2_0}\left(9\right).\]
Высшей точкой траектории движения тела в нашем случае является точка бросания.
Время полета тела брошенного горизонтально, дальность полета
Время полета тела просто найти из второго уравнения системы (8), если положить, что в момент падения координата точки $y=0$:
\[y{=h}_0-\frac{g{t_{pol}}^2}{2}=0\to h_0=\frac{g{t_{pol}}^2}{2}\to t_{pol}=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\left(10\right).\]
Дальность полета (s) - это расстояние, которое тело преодолело по горизонтали (по оси X). Его найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (8):
\[s=v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\ \left(11\right).\]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Маленький шарик бросили горизонтально со скоростью $v_0$. Какова высота, с которой бросили шарик, если он упал на землю, пролетев расстояние s по горизонтали в n раз большее, чем высота бросания?
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой, которую получили в теоретической части статьи, связывающую дальность полета тела и высоту, с которой это тело бросили горизонтально:
\[s=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\ \left(1.1\right).\]
Воспользуемся условием, которое задано:
\[\frac{s}{h}{\rm =n}\to s=nh\ \left(1.2\right).\]
Выразим из формулы (1.1) искомую высоту, приняв во внимание (1.2), имеем:
\[nh=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\to n^2h^2=v^2_0\frac{2h}{g}\to h=\frac{2v^2_0}{gn^2}.\]
Ответ. $h=\frac{2v^2_0}{gn^2}$
Пример 2
Задание. Напишите уравнения траектории движения материальной точки М для случая, который изображен на рис. 3.
Решение. Основой решения задачи служит кинематическое уравнение для перемещения при равноускоренном движении:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(2.1\right).\]
Спроектируем выражение (2.1) на оси X и Y:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x=v_0t, \\
y=-h-\frac{gt^2}{2} \end{array}
\left(2.2\right).\right.\]
Для того чтобы получить уравнение траектории выразим время из первого уравнения системы (2.2):
\[t=\frac{x}{v_0}\ \left(2.3\right).\]
Подставим найденное время (2.3) во второе уравнение системы (2.3):
\[y=-h-\frac{g}{2}\frac{x^2}{{v_0}^2}.\]
Ответ. $y=-h-\frac{g}{2}\frac{x^2}{{v_0}^2}$
Читать дальше: движение тела под углом к горизонту.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 446 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
