Математический маятник - это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Формулы математического маятника
Определение и формулы математического маятника
Определение
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник - классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]где $\varphi $ - угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$
\[\varphi (t)={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ }\]где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
\[\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(3\right).\]Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(4\right).\]Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
\[E=E_k+E_p=\frac{mv^2}{2}+mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{mgx^2}{2l}=const\left(5\right),\]где $E_k$ - кинетическая энергия маятника; $E_p$ - потенциальная энергия маятника; $v$ - скорость движения маятника; $x$ - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол - смещение связан с $x$ как:
\[\varphi =\frac{x}{l}\left(6\right).\]Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
\[E_{pmax}=mgh_m=\frac{mg{x^2}_m}{2l}\left(7\right);;\]Максимальная величина кинетической энергии:
\[E_{kmax}=\frac{mv^2_m}{2}=\frac{m{\omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}\left(8\right),\]где $h_m$ - максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={\omega }_0x_m$ - максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
\[\frac{mv^2}{2}=mgh\ \left(1.1\right).\]Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
\[h=\frac{v^2}{2g}.\]Ответ. $h=\frac{v^2}{2g}$
Пример 2
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(2.1\right).\]Выразим из нее ускорение:
\[g=\frac{4{\pi }^2l}{T^2}\ .\]Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
\[g=\frac{4{\pi }^2\cdot 1}{2^2}={\pi }^2\approx 9,87\ \left(\frac{м}{с^2}\right).\]Ответ. $g=9,87\ \frac{м}{с^2}$
Читать дальше: формулы пружинного маятника.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
