Помогите найти общий член частичной суммы ряда

[pankand]

Доброго времени суток! Помогите найти общий член частичной суммы ряда: Σ k(a^k) , где а - натуральное число; k = 0...n .
Частичная сумма ряда будет равна: Sn = 0 + a + 2(a^2)+3(a^3)+...+n(a^n)

[tig81]

Так а в чем проблема?
У вас общий член есть:

k(a^k)

[pankand]

Так а в чем проблема?
У вас общий член есть:

k(a^k)

извиняюсь, неправильно выразился. Мне нужна формула, по которой можно вычислить n-ю сумму ряда.
То есть для ряда a + a^q + a(q^2) +...+ a(q^n) +...,  a∈R, a ≠ 0, q≠0.  Sn = a(1-(q^n))/(1-q)

[Nataniel]

Откуда задание? Это школа или нет?

[pankand]

нет, это к сожалению не школа! ))

[Nataniel]

Поищите как выводится формула суммы арифметической прогресии (там записывают слагаемые как бы в треугольник)

[pankand]

Ни чего подобного не нашел в интернете. Может это геометрическая прогрессия, а не арифметическая?

[Nataniel]

a^k - геометрическая
k*a^k - не геометрическая

1*a+2*a^2+3*a^3=(a+a^2+a^3)+(a^2+a^3)+a^3
а вот это уже сумма геометрической прогресии в скобках - осталось правильно записать.

[pankand]

В результате мы получаем n-ю сумму геометрических прогрессий:
n=3      1*a+2*a^2+3*a^3=(a+a^2+a^3)+(a^2+a^3)+a^3
n=4      1*a+2*a^2+3*a^3+4*a^4=(a+a^2+a^3+a^4)+(a^2+a^3+a^4)+(a^3+a^4)+a^4
n=5      1*a+2*a^2+3*a^3+4*a^4+5*a^5=(a+a^2+a^3+a^4+a^5)+(a^2+a^3+a^4+a^5)+(a^3+a^4+a^5)+(a^4+a^5)+a^5
..................................................................................
а что дальше???

[Nataniel]

Каждая скобка - это конечная сумма геометрической прогресии, запишите ее.

[pankand]

n=3      1*a+2*a^2+3*a^3=(a+a^2+a^3)+(a^2+a^3)+a^3= a(1-a^3)/(1-a)+(a^2)(1-a^2)+a^3

[Nataniel]

распишите для n=5 и обратите внимание на "похожесть"

[pankand]

n=5      1*a+2*a^2+3*a^3+4*a^4+5*a^5=(a+a^2+a^3+a^4+a^5)+(a^2+a^3+a^4+a^5)+(a^3+a^4+a^5)+(a^4+a^5)+a^5=
           (a(1-a^5)/(1-a))+((a^2)(1-a^4)/(1-a))+((a^3)(1-a^3)/(1-a))+((a^4)(1-a^2)/(1-a))+a^5

если разложить все и привести к общему знаменателю, то получим следующее:
(a^1+a^2+a^3+a^4+a^5-5*a^6)/(1-a)

есть еще одна геометрическая прогрессия, перепишим уравнение применив формулу суммы :

(a(1-a^5)/(1-a)-5*a^6)/(1-a)

В итоге получилась вот такая общая формула:
(a*(1-a^n)-n*(a^(n+1))*(1-a))/((1-a)^2)