Линейные уравнения с мнимой единицей

[DeadChild]

Помогите, пожалуйста, с этими уравнениями. Не могу понять что делать с \( i \).
\( y''-2iy-y=4sinx \)
\( y''+4iy'-5y=e^xcos2x \)
\( y^{IV}+8iy=sinxcosx \)

[tig81]

\( i \) - это константа.

[DeadChild]

Хорошо. Только как, например, это посчитать -2i-1?

[tig81]

Хорошо. Только как, например, это посчитать -2i-1?

Что подразумевается под "посчитать"? Что ві хотите сделать с єтим віражением?

[DeadChild]

Ну вот у меня получилось характеристическое уравнение \( \lambda^2-2i-1=0 \). А дальше я не знаю что с ним делать. Как корни находить?

[tig81]

Ну вот у меня получилось характеристическое уравнение \( \lambda^2-2i-1=0 \). А дальше я не знаю что с ним делать. Как корни находить?

Если бы -2i-1 заменить как А, то как бы вы решали полученное квадратное уравнение?

[Selyd]

Извлеки корень из комплексного числа и определишь λ.

[DeadChild]

\( \lambda^2+A=0 \)
\( D=-4A \)
\( \lambda_{1,2}=\frac{0_{-}^{+}\sqrt{-4A}}{2} \)
Как-то так...

[tig81]

\( \lambda^2+A=0 \)
\( D=-4A \)
\( \lambda_{1,2}=\frac{0_{-}^{+}\sqrt{-4A}}{2} \)
Как-то так...

Можно было бы немного проще, но смысл тот же:
\( \lambda^2+A=0\Rightarrow \lambda^2=-A\Rightarrow\lambda=\pm\sqrt{-A}=\pm\sqrt{-2i-1} \)
Извлекайте теперь корень.

[DeadChild]

Опять формулой Муавра??

[tig81]

Опять формулой Муавра??

Можно. Можно для квадратного корня и немного иначе. Пусть \( \sqrt{2i+1}=a+bi\Rightarrow 2i+1=(a+bi)^2\Rightarrow 2i+1=a^2+2abi-b^2 \)
Два комплексных числа равны, когда равны действительные и мнимые части соответственно.

[DeadChild]

Пусть \( \sqrt{2i+1}=a+bi\Rightarrow 2i+1=(a+bi)^2\Rightarrow 2i+1=a^2+2abi-b^2 \)

Не поняла для чего это?

[tig81]

Не поняла для чего это?

Для извлечения корня.