Помогите решить несколько интегралов(4)

[c0deR]

Здравствуйте.
Решал сидел несколько дней интегралы, некоторые не получилось взять корректно, пробовал брать некоторыми способами, затем сократил до наиболее оптимальных вариантов и решил спросить совета.
Не могли бы вы подсказать как их решать дальше, или хотя бы натолкнуть на мысль или правильные рассуждения?
Пока что не получается 4 интеграла.
1.
Мне нужно взять интеграл именно (посчитаю определенный я потом).
Если кратко объяснять то, что я пытался сделать: я использовал универсальную тригонометрическую подстановку, потом пытался разложить рациональную дробь, но, как видите, что-то не очень-то удачно оно раскладывается.

2.
Ситуация аналогичная - привёл знаменатель сначала к определенному виду, потом использовал универсальную тригонометрическую подстановку, в результате вычислений показалось мне, что ошибку я, возможно, допустил где-то?

Я знаю, что возможно варианты решения двух вышестоящих интегралов не самые оптимальные, потому если есть советы по оптимизации, то я буду только благодарен. Т.к. преподаватель иногда может так быстро и просто некоторые интегралы расписывать, у меня, по-видимому, так не совсем получается.

3. Интеграл с виду простой:
\( \int \limits_{\Pi/2}^{\Pi}{2}^{8}{\sin}^{8}(x) dx \)
Я даже не знаю что с ним делать... Я пытался вынести 256 за интеграл, а что с синусом делать - точно не знаю...

4.
Вот дошёл до вот такого вот шага... А дальше что делать - не знаю..

Подскажите пожалуйста, если знаете.

[tig81]

1. Рациональнее, как по мне, замена \( ctgx=t \)
То, что есть остаток после деления, это нормально.
2. В решении запуталась. Распишите как-то без стрелочек, поэтапно+в более светлых тонах.
П.С. После замены практические нигде нет dt.
3. Формулы понижения степени.

[c0deR]

1. Спасибо, попробовал сделать по такой замене, получилось вот как:

Правильно?

2,3. Попробовал сделать как вы посоветовали, однако что-то не получается, скорее всего я что-то не правильно сделал, возможно..

[tig81]

1. Спасибо, попробовал сделать по такой замене, получилось вот как:
Правильно?

После замены х не должно остаться. Посмотрите  как выражается косинус через котангенс.

2

Первая строка, после второго знака равенства не пробовали синус в квадрате вынести за скобки?

3

Не совсем поняла переход в первой строке от второго интеграла к третьему.

[c0deR]

После замены х не должно остаться. Посмотрите  как выражается косинус через котангенс.

Подскажите пожалуйста, я пытался выразить, но что-то вычисления не радуют... Икс всёравно не уходит..

Первая строка, после второго знака равенства не пробовали синус в квадрате вынести за скобки?

Да, спасибо, я пробовал, но не помогло...
Если бы там был косинус в квадрате, то может быть было лучше, а так не знаю как решить...

Не совсем поняла переход в первой строке от второго интеграла к третьему.

Расписал по формулам понижения степени..
ссылка

P.S.: Немогли бы вы поконкретнее, пожалуйста, если можно, подсказать что можно сделать?
(Я конечно знаю, что это дело такое... Но просто я обычно волнуюсь, когда не получаются науки и к тому же бывает просиживаю дни за мат.Анализом долго высчитывая куча решений, при том, что лучше бы было получить более точную инструкцию, которую я бы уяснить и следовательно гораздо рациональнее вложить последующее время в изучении наук. Так, поскольку ученые оформляли научные труды и результаты исследований, а следующие поколения их осваивали, "не изобретая велосипед", то так наука и развивалась, простите за оффтоп, если что)

[tig81]

Подскажите пожалуйста, я пытался выразить, но что-то вычисления не радуют... Икс всёравно не уходит..

Как пытались выразить?
\( \cos{x}=\frac{ctgx}{\sqrt{1+ctg^2x}} \)

Да, спасибо, я пробовал, но не помогло...
Если бы там был косинус в квадрате, то может быть было лучше, а так не знаю как решить...

Показывайте, что получилось после того, как вынесли.
Что бы делали, если бы был косинус квадрат?

Расписал по формулам понижения степени..

Подробнее распишите.

П.С. А про интегрирование тригонометрических функций можно почитать/посмотреть в Рябушко, Каплан (ссылки есть у меня в подписи)

[c0deR]

Ох.. Ладно, один пример я уже таки решил, правда не самым оптимальным способом, да и не факт, что правильно, ну да ладно...
А то так подозреваю, что если я буду искать эти оптимальные пути и т.п., то эта тройка примеров будет решаться неделю..
(другие люди наверное за день двадцатку таких примеров в лёгкую решают, а я 5 дней сижу над 14ю)

Выразил косинус так, как вы подсказали, однако что же делать дальше...?

Подробнее распишите.

Ну если честно, то не знаю как там ещё расписать.
Я взял просто синус в 8й степени расписал как синус в четвёртой в квадрате, а потом по формулам понижения степени синус в 4й расписал...

[tig81]

(другие люди наверное за день двадцатку таких примеров в лёгкую решают, а я 5 дней сижу над 14ю)

Все приходит с опытом.

Выразил косинус так, как вы подсказали, однако что же делать дальше...?

Вместо тангенса записывайте переменную, на которую вы его заменили. Подставляйте все в интеграл

Ну если честно, то не знаю как там ещё расписать.
Я взял просто синус в 8й степени расписал как синус в четвёртой в квадрате, а потом по формулам понижения степени синус в 4й расписал...

Вот все это, только не словами, а непосредственными записями. Т.е. не условие, а потом, что получилось после возведения в степень, а и все промежуточные вычисления. А то у меня не такое получается.

[c0deR]

Аа, то в том, там где котангенс я просто забыл о замене, поэтому видимо и не получалось...

Ну в общем вот расписал те 2 кратко, получилось так:

Все приходит с опытом.

Но у некоторых почему-то ещё быстрее усваивается...

P.S.: Хотя завтра, возможно, я пойду на консультацию по этим вопросам... Но мне что-то кажется, что вообще из всех интегралов у меня будет наверное ошибок не мало, так что потом придётся их исправлять...
А насчёт учебников двух, что вы посоветовали. Ну Рябушко знаю... Нам по нему тоже задания давали раньше... А Каплан - что-то у него запутанно как-то, там в 4х частях, я даже толком не знаю с какой начинать..
Но, однако, спасибо за советы...

[tig81]

Аа, то в том, там где котангенс я просто забыл о замене, поэтому видимо и не получалось...

Наверное.

Ну в общем вот расписал те 2 кратко, получилось так:

1. Теперь перемножайте дальше.
2. Это первый или второй такой получился?

Но у некоторых почему-то ещё быстрее усваивается...

А у некоторых вообще не усваивается.

А Каплан - что-то у него запутанно как-то,

Ну не знаю, нормально.

там в 4х частях, я даже толком не знаю с какой начинать..

с той, где про интегрирование рассказывается.




[/quote]

[c0deR]

Спасибо конечно за советы и попытку помочь, однако я уже всё порешал, сходил на консультацию, задал пару вопросов и т.п...