Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

[sakna]

Подскажите, пожалуйста, как найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в заданной области, если она не замкнутая (х≥1; у≤- 1;   х + у ≤ 1). Так же, как и для случая, когда область замкнута? Или ошибка в условии (если у≥-1, то область замкнута и все предельно ясно)?

[sakna]

Добрый день! Почему-то никто мне не прислал подсказки. Может я непонятно сформулировала вопрос? По методике определения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области я  определила, что как внутри заданной области, так и на ее границах функция не имеет экстремумов. Нашла значения функции в точках пересечения прямых х = 1;у = -1 и  у = -1;у = 1 - х . Из них выбрала наименьшее и наибольшее значения. Но ведь это методика для замкнутой области. А у меня область неограничена снизу. Или не имеет значения, замкнутая это область или нет. В литературе я встречала только примеры для замкнутой области. Может кто-нибудь сталкивался с подобными задачами и подскажет мне? Пожалуйста, не проходите мимо!

[sakna]

Я вот о чем подумала: если функция z = f(x,y) =  x квдрат + 3y квадрат  + x – y не имеет экстремумов ни внутри заданной области, ни на ее границах, то ее значеие f(1,-1) = 6 в точке пересечения прямых х = 1;у = -1 будет наименьшим, а f(2,-1) = 10 в точке пересечения прямых у = -1;у = 1 - х будет наибольшим для заданной области. Ведь на это не претендуют никакие другие точки из этой области, даже если она и не ограничена снизу!!! Или я не права? Пожалуйста, ну кто-нибудь порассуждайте вместе со мной.

[Данила]

если функция не имеет точек подозрительных на экстремум - рассматривайте границы...из них выбирайте минимум и максимум....а вот как быть с незамкнутым -не знаю....по идее там просто не должно быть минимума\максимума

[sakna]

Я тоже так думаю. Но тогда какой смысл вообще решать задачу, если в самом начале ясно, что область не замкнута. Сразу ответ: наибольшее и наименьшее значение не могут быть определены. и зачем проводить какие-то исследования?

[Данила]

эт надо у автора задания спрашивать)

[sakna]

Решила остановиться на том. что в данной области нельзя определить наиб. и наим. значения функции. И как альтернативный вариант запасусь решением для замкнутой области (предпалагая, что в условии все-таки закралась ошибка, т.е. у должен быть больше или равен 0)

[Балашов]

Ясно, что наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных может быть, даже,если областью является вся плоскость. Нельзя со счетов сбрасывать и границы, даже если они бесконечны, там свои экстремумы могут быть.

[Балашов]

Задумался вот над чем. Если функция имеет (на всей числовой плоскости) единственный максимум и не имеет ни одного минимума, то это не означает, что максимум - наибольшее значение?

[Selyd]

Какой вид функции?
Наверное надо рассаматривать пределы в открытой области.