Исследовать сходимость ряда

[everest]

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n+1)2^n} \)

[tig81]

И? Свои идеи?

[everest]

способои Даланбера можно решить? или другим?

[tig81]

способои Даланбера можно решить? или другим?

думаю, что можно

[everest]

\( \frac{(n+1)(2n+1)2^n}{(2(n+1)+1)2^{n+1}n}=\frac{(n+1)(2n+1)2^n}{(2n+3)2^n 2n}=\frac{
2n^2+n+2n+1}{4n^2+6n} \)

\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n^2+n+2n+1}{4n^2+6n}=\frac{\infty+\infty+\infty+1}{\infty+\infty} \)

Знаменатель больше числителя, значит дробь больше единицы, значит ряд расходится

правильно?

[tig81]

\( \frac{(n+1)(2n+1)2^n}{(2(n+1)+1)2^{n+1}n}=\frac{(n+1)(2n+1)2^n}{(2n+3)2^n 2n}=\frac{
2n^2+n+2n+1}{4n^2+6n} \)

\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n^2+n+2n+1}{4n^2+6n}=\frac{\infty+\infty+\infty+1}{\infty+\infty} \)

Знаменатель больше числителя, значит дробь больше единицы, значит ряд расходится

правильно?

Нет. Предел неверно нашли.
ВЫносите в числителе и знаменателе старшую степень.

[everest]

\( \frac{n^2(2+\frac{1}{n}+2\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(4+6\frac{1}{n})}=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{4+\frac{6}{n}}=\frac{2+\frac{3}{\infty}+\frac{1}{\infty^2}}{4+\frac{6}{\infty}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)

меньше единицы, значит сходится, так?

[tig81]

да, только пределы надо подописывать.