Исследовать сходимость ряда

[everest]

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 5^{n-1}} \)

каким способом исследовать?

[tig81]

А какие достаточные признаки сходимости знаете?

[everest]

Даланбера и Коши

[tig81]

Даланбера и Коши

Ну это не все, но попробуйте Даламбера.

[everest]

\( \frac{n 5^{n-1}}{(n+1) 5^{n+1-1}}=\frac{n}{5(n+1)} \)

\( \frac 1 5 \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{n}{n+1}= \frac15 \frac{\infty}{\infty}=\frac 15  \)

меньше единицы значит сходится

правильно?

[Nataniel]

\( \frac{n 5^{n-1}}{(n+1) 5^{n+1-1}}=\frac{n}{5(n+1)} \)

\( \frac 1 5 \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{n}{n+1}= \frac15 \frac{\infty}{\infty}=\frac 15  \)

меньше единицы значит сходится

правильно?

Правильно, но запись бесконечность/бесконечность во-первых некорректна, а во вторых этот предел не всегда равен 1, например предел x^2/(x+1) тоже имеет неопределенность бесконечность/бесконечность но предел не равен 1

[everest]

\( \frac{n 5^{n-1}}{(n+1) 5^{n+1-1}}=\frac{n}{5(n+1)} \)

\( \frac 1 5 \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{n}{n+1}= \frac15 \frac{\infty}{\infty}=\frac 15  \)

меньше единицы значит сходится

правильно?

Правильно, но запись бесконечность/бесконечность во-первых некорректна, а во вторых этот предел не всегда равен 1, например предел x^2/(x+1) тоже имеет неопределенность бесконечность/бесконечность но предел не равен 1

А почему?

[Nataniel]

Что конкрето непонятно?
Если
То почему запись некоректна? - Просто не принято так писать
То почему бесконечность/бесконечность не равна 1? - Привел пример n^2/(n-1) ->бесконечность (при n->беск) и обратно (n-5000)/n^2 ->0 (при n->беск)