Частное решение дифференциального уравнения второго порядка

[murad91]

Помогите решить дифференциальное уравнение :
(d^2v / dt^2)+2n(dv / dt)+k^2 v= D   , где n,k,D- коэффициенты.
Начальные условия t=T, v=0 и (dv / dt)=0

[tig81]

Что делали? Что не получается? Чему равно решение однородного?

[murad91]

Voo=c1*e^(-n-sqrt(n^2-k^2))x+c2*e^(-n+sqrt(n^2-k^2))x

[tig81]

Voo=c1*e^(-n-sqrt(n^2-k^2))x+c2*e^(-n+sqrt(n^2-k^2))x

Частное решение ищем по виду правой части: там стоит константа D (я так поняла, что она считается известной). Т.е. у_част=А. Ваша задача найти это значение.

[murad91]

конечный результват извустен:
v=Ae^(-nt)*sh(sqrt(n^2-k^2)+B)+D/k^2;

[murad91]

не могу понять как так получилось

[tig81]

конечный результват извустен:
v=Ae^(-nt)*sh(sqrt(n^2-k^2)+B)+D/k^2;

Что именно непонятно? Первое слагаемое или второе?

[murad91]

первое

[tig81]

первое

Как выражается синус гиперболический через экспоненты?
Вот этот факт и использовали. \( e^{(-n-\sqrt{n^2-k^2})t}=e^{-nt}\cdot{e^{-\sqrt{n^2-k^2}t}} \)

[murad91]

за это спасибо.
А как нашли с1 и с2 - вот что я не понял

[tig81]

за это спасибо.
А как нашли с1 и с2 - вот что я не понял

Там впереди есть коэффициент А, он как-то их заменяет.

[murad91]

A=(-D*e^nT)/(k*sqrt(n^2-k^2) );
B=0,5*ln( (n+sqrt(n^2-k^2))/(n-sqrt(n^2-k^2)))-(sqrt(n^2-k^2))*T;

[tig81]

A=(-D*e^nt)/(k*sqrt(n^2-k^2) );
B=0,5*ln( (n+sqrt(n^2-k^2))/(n-sqrt(n^2-k^2)))-(sqrt(n^2-k^2))*t;

В от t не должен зависит.

[murad91]

я перепутал. вместо t должен быть T

[tig81]

я перепутал. вместо t должен быть T

Ясно, возможно, честно говоря, не считала.