Для заданных сложных ф-й найти указанные производные

[bocha86]

\( Z=\arcsin \frac{x}{y} \),
\( y=\sqrt{{x}^{2}+1} \),
Найти \( \frac{dz}{dx} \)

[Dimka1]

ну и?

[tig81]

Смотрите в Рябушко, там про полную производную есть.

[bocha86]

\( {Z'}_{x}=\frac{1}{y\sqrt{1-{\left( \frac{x}{y}}\right)^{2}}} \)
Подставила
\( y=\sqrt{{x}^{2}+1} \)
Получила ответ 1
Я правильно решила?

[tig81]

Нет. Тут можно было либо сразу подставить  в место у и получить функцию одной переменной, либо используя формулу.

[bocha86]

Нет. Тут можно было либо сразу подставить  в место у и получить функцию одной переменной, либо используя формулу.

\( \frac{dz}{dx}=\frac{\delta z}{\delta x}+\frac{\delta z}{\delta y}\frac{\delta y}{\delta x} \)
Как я поняла, надо по этой формуле решать

[tig81]

Либо по этой формуле.

Под дельта подразумеваются частные производные?

[bocha86]

Либо по этой формуле.

Под дельта подразумеваются частные производные?

Ага
\( \frac{\delta y}{\delta x}=\sqrt{{x}^{2}+1} \) или от y тоже надо производную найти

[tig81]

\( \frac{dz}{dx}=\frac{\delta z}{\delta x}+\frac{\delta z}{\delta y}\frac{\delta y}{\delta x} \)

Формула должна такая быть:
\( \frac{dz}{dx}=\frac{\delta z}{\delta x}+\frac{\delta z}{\delta y}\frac{dy}{dx} \)
Последние d прямые.

\( \frac{\delta y}{\delta x}=\sqrt{{x}^{2}+1} \)

А чего, если \( y=\sqrt{{x}^{2}+1} \), то и производная равна корню?

[bocha86]

А чего, если \( y=\sqrt{{x}^{2}+1} \), то и производная равна корню?

да я поняла уже что тут глупость сморозила

[tig81]

Итак, что получается?

[bocha86]

\( \frac{\delta z}{\delta x}=\frac{1}{y\sqrt{1-{\left( \frac{x}{y}\right)}^{2}}} \)
\( \frac{\delta z}{\delta y}=-\frac{x}{{y}^{2}\sqrt{1-{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}}} \)
\( \frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}} \)

[tig81]

Частные производные можно еще упростить.

[bocha86]

\( \frac{y\sqrt{{x}^{2}+1}-{x}^{2}}{{y}^{2}\sqrt{1-{\left( \frac{x}{y}\right)}^{2}}\cdot  \sqrt{{x}^{2}+1}}} \)

[tig81]

\( \frac{y\sqrt{{x}^{2}+1}-{x}^{2}}{{y}^{2}\sqrt{1-{\left( \frac{x}{y}\right)}^{2}}\cdot  \sqrt{{x}^{2}+1}}} \)

Это вы к общему знаменателю привели? Приведите еще к общему знаменателю в первом корне в знаменателе