Найти минимальное значение функции

[Esquirol]

Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.

f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)

[renuar911]

Если решать графически, то ответ  min[f(x)] = -9  при \( x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \)

А вот как аналитически (но без производной)  - самому интересно было бы узнать.

[tig81]

Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.
f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)

Какое максимальное и минимальное значение может принимать каждый косинус?

[Esquirol]

Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.
f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)

Какое максимальное и минимальное значение может принимать каждый косинус?

Максимальное - каждый косинус может быть равен единице.
С минимальным я не могу понять, как вывести это значение, поэтому и спрашиваю.

[tig81]

Максимальное - каждый косинус может быть равен единице.

А может и нет.
\( -1\leq\cos{ax}\leq 1 \)
Для каждого слагаемого запишите подобное неравенство.

[renuar911]

Если это выражение выразить только через  cos(x)  и сделать замену t=cos(t), то получается полином восьмой степени:

\( y=128 t^8-256 t^6+192 t^4-50t^2+6t-2 \)

Глобальный минимум достигается  при t=-0.5  и тогда y=-9

Ответ верный, но как обойтись без производной - не знаю.
Нужно применить к тригонометрическому уравнению какую-то красивую хитрость. Очень бы хотел знать ее! Поместил бы в книгу, так как такая задача с косинусами, решенная в общем виде, стала бы шедевром.

[renuar911]

Нашел, однако, свой метод случайного поиска.
Сначала чертим график:



Выявляем приблизительно иксы, при которых экстремальные минимумы: это хх=1 и хх=2

Составляем прогу с алгоритмом метода Монте-Карло:

open #1,"4cos.txt","w"
a1=1:b1=8:a2=4:b2=4:a3=7:b3=2:a4=6:b4=1:z=0.1
for xx=1 to 2:x0=xx:s=10^5:nn=10000
for j=1 to nn:x=x0*(1+z*(ran()-.5))
f=a1*cos(b1*x)+a2*cos(b2*x)+a3*cos(b3*x)+a4*cos(b4*x)
if  f<=s then:print x,f
print #1,x using "###.######",f using "###.######"
s=f:x0=x:fi:next j:print:print #1
print:print #1:next xx

и в результате замечательные ответы:
       x                f
  0.950461  -1.692946
  0.953189  -1.736618
  0.970772  -2.010361
  0.991269  -2.310455
  1.170793  -3.655530
  1.170798  -3.655530
  1.171122  -3.655539
  1.171249  -3.655541
  1.171286  -3.655541
  1.171324  -3.655541
  1.171318  -3.655541 - первый экстремум


  2.084204  -8.995748
  2.094766  -8.999994
  2.094539  -8.999999
  2.094491  -9.000000
  2.094468  -9.000000
  2.094414  -9.000000
  2.094392  -9.000000 - глобальный экстремум

Задача прекрасная и тут она решена в самом общем виде - можно менять 8 параметров ( по два параметра на каждый косинус)

[renuar911]

На рисунке ошибочно в формуле набил 5 вместо 7. Поэтому исправляюсь:

[Esquirol]

это задача из книги Сергеева для абитуриентов МГУ и задачка расположена в параграфе " Исследование функций без производной". стало быть, есть метод без производной решить ее и без программы ( т.к. задача со вступительного экзамена). Расписанные неравенства все равно мне ничего не дали(.

[renuar911]

Я тоже чувствую, что метод есть. Как бы его найти? Численным анализом установил, что целочисленные и полуцелочисленные минимумы будут  равны минус половины максимума  при \( x=\frac {2\pi}{3} \) для таких уравнений:

\( \cos (8x)+\cos (4x)+\cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+\cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+4 \cos (x) \)
____________________________________
\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+6 \cos (x) \)
\( ^{-----------------------------} \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

Ну и так далее...  Выделен наш рассматриваемый вариант.
Почему же именно при таких параметрах при одном и том же x получаем глобальный минимум, равный половине максимума с обратным знаком?

А вот если посмотрим на:

\( \cos (8x)+ \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

то окажется, что при \( x=\frac {2\pi}{3} \) функция принимает значение -6, но этот минимум локальный,(хотя и равен половине максимума с обратным знаком). Глобальный же минимум: -7,08432 при х=2.69146. Удивительная задачка! Еще более удивительным должен оказаться аналитический метод расчета глобального минимума.
Ау, профессионалы тригонометрии!!!

[renuar911]

Если при первом косинусе двойка, то такие решения в целых глобальных минимумах:

\( 2 \cos (8x)+4 \cos (4x)+ \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 7 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 7 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+4 \cos (x) \)


Ну и так далее...   Какие мысли насчет простой задачки, которую предлагают на вступительном экзамене?

[renuar911]

Для иных коэффициентов при x:

\( \cos (4x)+\cos (3x)+4 \cos (2x) + 4 \cos (x) \quad \to \, min=-\frac{7}{2} \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+5 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-4 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+5 \cos (2x) + 6 \cos (x) \quad \to \, min=-5 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+6 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-5 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+6 \cos (2x) + 8 \cos (x) \quad \to \, min=-\frac{13}{2} \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+7 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-6 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+8 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-7 \)

и так далее...

[renuar911]

Задачу раскрутил и даю метод нахождения глобального минимума без производной. Итак, имеется выражение:

\( a_1 \cos(8x)+a_2 \cos(4x)+a_3 \cos(2x) + a_4 \cos(x) \)

У нас  \( a_1=1 \,; \quad a_2=4\,; \quad a_3=7\,; \quad a_4=6 \)

Нужно найти глобальный минимум \( f_{min} \). У этой зависимости есть три зоны появления глобального минимума. Все их рассматривать очень долго. Расскажу о средней зоне, где глобальный минимум появляется в точке \( x=\frac{2\pi}{3} \). В этом случае должны выполняться условия:

\( a_3=a_2-3a_1-\frac{2}{3} f_{min} \, ; \quad a_4=2a_1-2a_2-\frac{4}{3} f_{min} \)

\( \frac{17}{8}a_1+\frac{f_{min}}{12}\le a_2 \le a_1-\frac{2}{3}f_{min} \)

  Проверим это:

\( f_{min}=\frac{3}{2}(a_2-3a_1-a_3)=-9 \)

\( f_{min}=\frac{3}{4}(2a_1-2a_2-a_4)=-9 \)

\( 1.375 < 4 < 7 \)

Таким образом, ответ получен.