Площадь фигуры

[vitalfan]

Найти площадь фигуры, ограниченной двумя последовательными витками логарифмической спирали
\( r = {e^\varphi } \) начиная с \( \varphi  = 0 \).
Подскажите как это решать,с чего начать?

[ELEK1984]

посмотрите здесь ссылка

[vitalfan]

спасибо полезный ресурс)
решаю вот так:
\(
S = \frac{1}
{2}\int\limits_0^{2\pi } {{r^2}} d\varphi  = \frac{1}
{2}\int\limits_0^{2\pi } {{{({e^\varphi })}^2}d\varphi  = \frac{1}
{2}} \frac{{{e^{2\varphi }}}}
{2}\left| {_0^{2\pi }} \right. = \frac{1}
{4}{e^{4\pi }} - \frac{1}
{4} = \frac{1}
{4}({e^{4\pi }} - 1) \)
А с ответом не сходится,там
\( \frac{1}
{4}{({e^{4\pi }} - 1)^2} \)

[Dimka1]

а в ответе что должно быть?

[vitalfan]

В ответе вот так:
\( \frac{1}
{4}{({e^{4\pi }} - 1)^2} \)

[Dimka1]

Я бы оставил то решение, которое у Вас сейчас есть.

[vitalfan]

А может это связано как-то с тем, что надо найти площадь ДВУХ последовательных витков

[ELEK1984]

конечно промежуток интегрирования от 0 до 4пи

[vitalfan]

Тогда получается
\( S = \frac{1}
{2}\int\limits_0^{4\pi } {{e^{2\varphi }}} d\varphi  = \frac{1}
{4}({e^{8\pi }} - 1)
 \)
или я просто считаю неправильно?)

[Dimka1]

ответ сойдется, если вычислить

(int(exp(t),t=0..4*Pi)/2)^2, но это неправильно, т.к. подинтегральную функцию нужно сначала в квадрат возвести, а затем интегрировать.

[vitalfan]

Да это точно, тогда не понятно как они получили,ну ладно спасибо)))