сумма ряда

[JustImba]

помогите найти сумму ряда
все уже лекции перепробывал...

[ELEK1984]

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n}{2^n} = -\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^{N+1} \cdot (N+1)+\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^{N+1}-2/9 \)

Это выдал maple. Соответственно сумма равна \( -\frac{2}{9} \)

[Alexdemath]

JustImba, функциональные ряды уже проходили?

То есть можно использовать функциональный ряд при решении??

[JustImba]

да

[Alexdemath]

Хотя можно обойтись и без функционального ряда, чтобы вычислить сумму Вашего числового ряда.

\( {\usepackage[11pt]{extsizes}\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n+1}{2^{n+1}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{n+1}{2^n}=\\[2pt]&=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}=\\[2pt]&=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}\end{aligned}} \)

Таким образом, после преобразований получили линейное уравнение относительно исходного ряда; решим его:

\( {\usepackage[11pt]{extsizes}\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}&=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}\\[2pt]\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}&=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}\\[2pt]\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}&=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-(-1/2)}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{9}\end{aligned}} \)

Всё понятно??

[JustImba]

вроде да спс!

[JustImba]

непонял как ты получил 2\3 ток

[Alexdemath]

Сумму ряда \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n} \) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а общий член \( -\frac{1}{2} \).

Геометрическую прогрессию проходят уже в школе, вспоминай.