исследовать сходимость ряда (найти лимит)

[everest]

Исследовать сходимость ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^3+1} \)

надо найти лимит \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+2}{n^3+1} \)
  а в таком надо поделить на \( n^2 \)?

[tig81]

а в таком надо поделить на \( n^2 \)?

на \( n^3 \)

[everest]

получается \( \frac{\frac{n}{n^3}+\frac{2}{n^3}}{ \frac{n^3}{ n^3}+\frac{1}{n^3}} =\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{ 1+\frac{1}{n^3}       }=\frac{0+0}{1+0}=0  \) ряд может расходиться и сходиться, как определить?

[tig81]

Применить достаточные признаки сходимости.

[renuar911]

Если удается найти сумму, то сходимость есть. Сумма эта достаточно простая:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^3+1}=\frac{1}{3}\left [\psi(0.5+0.5  \sqrt{3}\, i )+\gamma-1+0.5 \pi \, th(0.5  \sqrt{3} \pi)(3 \sqrt{3}-i)\right] \approx 2.48465 \)

[ELEK1984]

Нужно применить признак сравнения \( a_n=\frac{n+2}{n^3+1} \sim b_n=\frac{1}{n^2} \) и исследовать сходимость ряда \( \sum_{\begin{smallmatrix}i=1 \end{smallmatrix}}^\infty b_n \). Если этот ряд сходится, то и сходится исходный и наоборот.