Найти площадь фигуры №2

[DeadChild]

\( y^2-8y+x^2=0 \)
\( y^2-10y+x^2=0 \)
\( y=\frac{x}{\sqrt{3}} \)
\( y=\sqrt{3}x \)
Не получается расставить пределы интегрирования в повторном интеграле.

[ELEK1984]

Лучше (проще для вычисления) перейти в полярную систему координат!

[DeadChild]

\( S=\int \int \limits_{\omega}dxdy=\int d \phi \int f(pcos \phi, psin \phi) \)
Всё равно мне как-то не очень понятно как сделать такой переход.

[ELEK1984]

например:

\( y^2+x^2=8y, (p \cos(\phi))^2+(p \sin(\phi))^2=8p \sin(\phi), p^2=8p \sin(\phi), p=8 \sin(\phi) \)
Только еще углы надо найти!

\( p \sin(\phi) = \sqrt{3} p \cos (\phi), tg (\phi)=\sqrt{3} \)

остальное также.
И не забудьте про якобиан)

[DeadChild]

например:

\( y^2+x^2=8y, (p \cos(\phi))^2+(p \sin(\phi))^2=8p \sin(\phi), p^2=8p \sin(\phi), p=8 \sin(\phi) \)
Только еще углы надо найти!

\( p \sin(\phi) = \sqrt{3} p \cos (\phi), tg (\phi)=\sqrt{3} \)

остальное также.
И не забудьте про якобиан)

Хорошо, попробую!

[DeadChild]

\( y=\frac{x}{\sqrt{3}} \)
\( \sqrt{3}y-x=0 \)
\( \sqrt{3}psin \phi - pcos \phi =0 \)
\( p(\sqrt{3}sin \phi -cos \phi)=0 \)
тут \( p=0 \)?

[ELEK1984]

на ро мы сокращаем!

[DeadChild]

и что тогда?

[DeadChild]

Кажется я поняла! Там углы будут \( \frac{\Pi}{3} \) и \( \frac{\Pi}{6} \)?

[ELEK1984]

Все верно!
Теперь составляйте повторный интеграл!

[DeadChild]

\( \int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d \phi \int \limits_{8sin \phi}^{10sin \phi}d \phi (pcos \phi, sin \phi) pdp  \)
что-то плохо я понимаю что написала...

[ELEK1984]

\( \int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d \phi \int \limits_{8sin \phi}^{10sin \phi} f(pcos \phi, psin \phi) pdp  \)

Вот так )

[DeadChild]

А, ну да))
И как это считать?

[ELEK1984]

\( S=\int \int_\limits{D}  dx dy \) - это площадь в декартовой системе координат)
в Вашем случае
\( \int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d \phi \int \limits_{8sin \phi}^{10sin \phi}  pdp  \)

[DeadChild]

Понятно, спасибо!!