несобственный интеграл

[naumzev]

помогите исследовать сходимость интеграла 1-ого рода

[ELEK1984]

Используйте признак сравнения \( \frac{1}{x^2+\sqrt{x}+1} \leq \frac{1}{x^2} \)
И разбейте ваш интеграл на сумму двух. И должно все получиться!

[naumzev]

а как быть с тем что 1/x^2 не существует в точке x=0 ?

[ELEK1984]

разбиваем интеграл
\( \int_0^1 \frac{dx}{x^2+\sqrt{x}+1}+\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+\sqrt{x}+1} \)
Первый интеграл: \( \frac{1}{x^2+\sqrt{x}+1} \sim \frac{1}{x^2+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(x\sqrt{x}+1)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \)
Интеграл \( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x} \) --- сходится,
 а со вторым тоже самое, но сравнивать его надо с дробью \( \frac{1}{x^2} \), тоже сходится)
Значит исходный интеграл сходится.

Вот хорошая ссылочка ссылка

[renuar911]

Если взглянуть на график подинтегрального выражения:



то ясно, что площадь конечная. Предел функции при x=0 равен 1, при бесконечности же - ноль... Значит, прикинув площадь фигуры (например, разбив на два треугольничка), без большой ошибки получим

\( S \approx \frac{3\cdot 0.6}{2}+\frac{7 \cdot 0.08}{2} \approx 1.2 \)