Интеграл

[sir. Andrey]

Помогите пожалуйста решить такой интеграл 

\( \oint_{|z+i|=3}{(\frac{4\sin{\frac{\pi z}{4-2i}}}{(z-2+i)^2(z-4+i)}+\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i})dz} \)

Разбиваем на два интеграла:
\(
\oint_{|z+i|=3}{\frac{4\sin{\frac{\pi z}{4-2i}}}{(z-2+i)^2(z-4+i)}dz=-2\pi i \)

А вот со вторым интегралом возникла проблемка
\( \oint_{|z+i|=3}{\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i}}dz \)

изолированная особая точка: \( z=i(4n-1) \)

\(
\oint_{|z+i|=3}{\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i}}dz=2\pi i Res\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i} \)
(при \( z=i(4n-1) \))
Подскажите как вычислить вычет?

[ELEK1984]

\(
\oint_{|z+i|=3}{\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i}}dz=2\pi i Res\frac{\pi i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i} \)
(при \( z=i(4n-1) \))
Подскажите как вычислить вычет?

Ваши точки \( z=i(4n-1) \)  являются полюсами первого порядка.
Вычет в случае простого полюса \( z_0 \) функции \( f(z)=\frac {\varphi(z)}{\psi (z)} \) равен \( Res[f(z), z_0]=\lim \limits_{z\rightarrow z_0} \frac {\varphi(z)}{\psi ' (z)} \)
Следовательно, \( Res\frac{\pi \cdot i}{e^{\pi\frac{z}{2}}+i}=\frac{\pi \cdot i}{\left(e^{\pi\frac{z}{2}}+i\right)'}\left|_{z=i(4n-1)}=\frac{\pi \cdot i}{\frac{pi}{2} \cdot e^\frac{z}{2}}\left|_{z=i(4n-1)}= \)

[sir. Andrey]

ВЫ имеете в виду, что результат может содержать n?

[ELEK1984]

В ваш круг попадет только одна точка, \( z=-i \), при \( n=0 \).

[sir. Andrey]

В ваш круг попадет только одна точка, \( z=-i \), при \( n=0 \).

Поясните пожалуйста, я че то не сращиваю! 

[sir. Andrey]

Я понял.
Спасибо!