Помогите с интегралами, пжт

[Millenia]

1. \( \int \frac {\sqrt{ln^{3}(x+1)}} {x+1} dx \)  
Мое решение:

\( \int \frac {\sqrt{ln^{3}(x+1)}} {x+1} = \int \sqrt{ln^{3}(x+1)} d ln(x+1) = |ln(x+1) = t| =\int \sqrt{t^{3}} dt = \int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac {ln^{\frac{1}{2}}(x+1)}{\frac{1}{2}} + C \)  

Проверяла MathCad'ом и калькуляторами в инете. Получается совершенно другое значение. Думается мне тут, я под знак дифференциала внесла как-то неправильно.

2.  \( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx \)
Мое решение:

\( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx = \int\frac{2x}{5x^{2}+2} dx + \int\frac{3dx}{5x^{2}+2} = 2\int\frac{xdx}{5x^{2}+2}+3\int\frac{dx}{5x^{2}+2} = \frac{2}{10}\int\frac{d(5x^{2}+2)}{5x^{2}+2} + 3\int\frac{dx}{(\sqrt{5}x)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{5}ln(5x^{2}+2) + \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} + C \)

не уверена на счет ответа в этой части \( \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} \)

3.\( \int cos^{3}4x sin4x dx \)
Мое решение:

\( \int cos^{3}4x sin4x dx = \frac{1}{4}\int cos^{2}4x sin4x d(sin4x) = \frac{1}{4}\int(1-sin^{2}4x)sin4x d(sin4x) = |sin4x = t| = \frac{1}{4}\int(1-t^{2})t dt = \frac{1}{4}\int(t-t^{3})dt = \frac{1}{4}(\int tdt-\int t^{3}dt) = \frac{1}{4}(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{4}}{4})+C = \frac{sin^{2}4x}{8} - \frac{sin^{4}4x}{16}+C \)

Совсем уж ответ не то что надо =( (В учебнике ответ выглядит таким образом \( -\frac {1}{16}cos^{4}4x+C \))

4. \( \int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} dx \)

Пробовала решить через вид \( \int x^{m}(a+bx^{n})^{p} dx \) не получилось.
Потом попробовала решить через подстановку вида \( \int R(x, \sqrt{x^{2}-a^{2}}) dx \)
Подстановка:
\( x=\frac{a}{sint} \)
\( dx=-\frac{acost}{sin^{2}t} \)

Тоже ничего хорошего не получилось...=(

5. \( \int\frac{xdx}{cos^{2}x} \)

Не соображу каким способом решать, подскажите.

Задания и литература из книги Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2.

[renuar911]

1)  все верно у вас, осталось малость:

\( \frac{2}{5}ln^{\frac{5}{2}}(x+1)+C \)

2) Два табличных интеграла. Должны быть логарифм и арктангенс:

\( \frac{1}{5}\,\ln  \left( 5\,{x}^{2}+2 \right) +\frac{3}{\sqrt{10}}\, arctg \left( \frac{x\sqrt {10}}{2} \right)+C \)

[tig81]

1. \( \int \frac {\sqrt{ln^{3}(x+1)}} {x+1} dx \)  
Мое решение:

\( \int \frac {\sqrt{ln^{3}(x+1)}} {x+1} = \int \sqrt{ln^{3}(x+1)} d ln(x+1) = |ln(x+1) = t| =\int \sqrt{t^{3}} dt = \int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac {ln^{\frac{1}{2}}(x+1)}{\frac{1}{2}} + C \)  

Неправильно последний интеграл взяли: \( \int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)

2.  \( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx \)
Мое решение:
\( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx = \int\frac{2x}{5x^{2}+2} dx + \int\frac{3dx}{5x^{2}+2} = 2\int\frac{xdx}{5x^{2}+2}+3\int\frac{dx}{5x^{2}+2} = \frac{2}{10}\int\frac{d(5x^{2}+2)}{5x^{2}+2} + 3\int\frac{dx}{(\sqrt{5}x)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{5}ln(5x^{2}+2) + \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} + C \)
не уверена на счет ответа в этой части \( \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} \)

Еще один множитель у арктангенса потеряли, еще поделить надо на \sqrt{5}

3.\( \int cos^{3}4x sin4x dx \)
Мое решение:
\( \int cos^{3}4x sin4x dx = \frac{1}{4}\int cos^{2}4x sin4x d(sin4x) = \frac{1}{4}\int(1-sin^{2}4x)sin4x d(sin4x) = |sin4x = t| = \frac{1}{4}\int(1-t^{2})t dt = \frac{1}{4}\int(t-t^{3})dt = \frac{1}{4}(\int tdt-\int t^{3}dt) = \frac{1}{4}(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{4}}{4})+C = \frac{sin^{2}4x}{8} - \frac{sin^{4}4x}{16}+C \)

Что-то непонятно начали делать, либо замените косинус новой переменной, либо занесите синус под дифференциал, т.е. \( \sin{4x}dx=-\frac{1}{4}d(\cos{4x}) \)

4. \( \int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} dx \)
Пробовала решить через вид \( \int x^{m}(a+bx^{n})^{p} dx \) не получилось.
Потом попробовала решить через подстановку вида \( \int R(x, \sqrt{x^{2}-a^{2}}) dx \)
Подстановка:
\( x=\frac{a}{sint} \)
\( dx=-\frac{acost}{sin^{2}t} \)
Тоже ничего хорошего не получилось...=(

Подстановка \( x=3ch{t} \)

5. \( \int\frac{xdx}{cos^{2}x} \)
Не соображу каким способом решать, подскажите.

По частям не пробовали?

Задания и литература из книги Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2.
[/quote]

[Millenia]

2.  \( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx \)
Мое решение:
\( \int\frac{2x+3}{5x^{2}+2} dx = \int\frac{2x}{5x^{2}+2} dx + \int\frac{3dx}{5x^{2}+2} = 2\int\frac{xdx}{5x^{2}+2}+3\int\frac{dx}{5x^{2}+2} = \frac{2}{10}\int\frac{d(5x^{2}+2)}{5x^{2}+2} + 3\int\frac{dx}{(\sqrt{5}x)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{5}ln(5x^{2}+2) + \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} + C \)
не уверена на счет ответа в этой части \( \frac{3}{\sqrt{2}}arctg\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}} \)

Еще один множитель у арктангенса потеряли, еще поделить надо на \sqrt{5}

не совсем поняла зачем еще делить на корень из 5, поясните пжт ^_^

3.\( \int cos^{3}4x sin4x dx \)
Мое решение:
\( \int cos^{3}4x sin4x dx = \frac{1}{4}\int cos^{2}4x sin4x d(sin4x) = \frac{1}{4}\int(1-sin^{2}4x)sin4x d(sin4x) = |sin4x = t| = \frac{1}{4}\int(1-t^{2})t dt = \frac{1}{4}\int(t-t^{3})dt = \frac{1}{4}(\int tdt-\int t^{3}dt) = \frac{1}{4}(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{4}}{4})+C = \frac{sin^{2}4x}{8} - \frac{sin^{4}4x}{16}+C \)

Что-то непонятно начали делать, либо замените косинус новой переменной, либо занесите синус под дифференциал, т.е. \( \sin{4x}dx=-\frac{1}{4}d(\cos{4x}) \)

делала так как в универе объясняла)) а объясняли так:
"Если существует 1 нечетная степень, следует отделить 1ю степень под дифференциал. Обе четные степени, следует использовать формулы понижения степени"

4. \( \int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} dx \)
Пробовала решить через вид \( \int x^{m}(a+bx^{n})^{p} dx \) не получилось.
Потом попробовала решить через подстановку вида \( \int R(x, \sqrt{x^{2}-a^{2}}) dx \)
Подстановка:
\( x=\frac{a}{sint} \)
\( dx=-\frac{acost}{sin^{2}t} \)
Тоже ничего хорошего не получилось...=(

Подстановка \( x=3ch{t} \)

а есть еще какие либо варианты? нам такого не давали =(

5. \( \int\frac{xdx}{cos^{2}x} \)
Не соображу каким способом решать, подскажите.

По частям не пробовали?

По частям думала, но меня что-то дробь смущает)) не знаю как с ней быть ^_^

[Millenia]

на счет 2ого поняла, разобралась...
и с 3 тоже )))

[tig81]

не совсем поняла зачем еще делить на корень из 5, поясните пжт ^_^

Потому что неправильно нашли интеграл. У вас под дифференциалом просто х, а в знаменателе \( \sqrt{5}x \)

делала так как в универе объясняла)) а объясняли так:
"Если существует 1 нечетная степень, следует отделить 1ю степень под дифференциал.

Так у вас уже в условии синус в первой степени. Зачем еще что-то отделять, если уже все отделено?

а есть еще какие либо варианты? нам такого не давали =(

Т.е. \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) давали, а \( x=a\sin{t} \) нет? Тогда изучите самостоятельно. 

По частям думала, но меня что-то дробь смущает)) не знаю как с ней быть ^_^

\( dv=\frac{dx}{\cos^2{x}} \)

[tig81]

на счет 2ого поняла, разобралась...
и с 3 тоже )))

[Millenia]

а есть еще какие либо варианты? нам такого не давали =(

Т.е. \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) давали, а \( x=a\sin{t} \) нет? Тогда изучите самостоятельно. 

но ведь \( x=a\sin{t} \) относится к виду \( \int R(x, \sqrt{a^{2}-x^{2}} \), а у нас в данном случае \( \int R(x, \sqrt{x^{2} - a^{2}} \)

лан, попробую сча вынести знак)

[tig81]

а есть еще какие либо варианты? нам такого не давали =(

Т.е. \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) давали, а \( x=a\sin{t} \) нет? Тогда изучите самостоятельно. 

но ведь \( x=a\sin{t} \) относится к виду \( \int R(x, \sqrt{a^{2}-x^{2}} \), а у нас в данном случае \( \int R(x, \sqrt{x^{2} - a^{2}} \)

лан, попробую сча вынести знак)

точно, я там другую подстановку писала, через гиперболические функции. Ее пробовали сделать?

[Millenia]

а есть еще какие либо варианты? нам такого не давали =(

Т.е. \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) давали, а \( x=a\sin{t} \) нет? Тогда изучите самостоятельно. 

но ведь \( x=a\sin{t} \) относится к виду \( \int R(x, \sqrt{a^{2}-x^{2}} \), а у нас в данном случае \( \int R(x, \sqrt{x^{2} - a^{2}} \)

лан, попробую сча вынести знак)

точно, я там другую подстановку писала, через гиперболические функции. Ее пробовали сделать?

а вот гиперболические функции нам как раз-таки не давали =(
а если сделать через гиперболические, препод не примет, скажет делайте через то что давала =(

[Millenia]

упс

вопрос.... не могу разобраться

\( \int\frac{ctg^{5}6x}{sin^{2}6x} dx = -\frac{1}{6}\int ctg^{5}6x d ctg6x = |ctg6x = t| = -\frac{1}{6}\int t^{5} dt = -\frac{1}{6} \frac{t^{6}}{6}+C = -\frac{1}{6}\frac{ctg^{6}6x}{6}+C \)

Я не пойму, почему в ответе ctg в 4 степени? >_<

[tig81]

Я не пойму, почему в ответе ctg в 4 степени? >_<

В каком ответе?
А так вроде верно.

[tig81]

а вот гиперболические функции нам как раз-таки не давали =(
а если сделать через гиперболические, препод не примет, скажет делайте через то что давала =(

А не поняла, а эта подстановка \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) ничего не дала?

[Millenia]

Я не пойму, почему в ответе ctg в 4 степени? >_<

В каком ответе?
А так вроде верно.

ответ просто дается в таком виде (в MathCad и онлайн калькуляторах) \( -\frac {1}{24} ctg^{4}6x \)

а вот гиперболические функции нам как раз-таки не давали =(
а если сделать через гиперболические, препод не примет, скажет делайте через то что давала =(

А не поняла, а эта подстановка \( x=\frac{a}{\sin{t}} \) ничего не дала?

ну... если учесть что я эту подстановку правильно сделала)) то у меня получилось под конец \( \int -\frac {3cos^{2}t}{sin^{2}t}dt  \)

из всей той подстановки я запуталась с тем, что мы заменяем на t. И вот как то "села" на этом)

[tig81]

ответ просто дается в таком виде (в MathCad и онлайн калькуляторах) \( -\frac {1}{24} ctg^{4}6x \)

У меня Maple выдал такой, как у вас, да и решили вы верно. Может просто как-то не так вводите?

ну... если учесть что я эту подстановку правильно сделала)) то у меня получилось под конец \( \int -\frac {3cos^{2}t}{sin^{2}t}dt  \)
из всей той подстановки я запуталась с тем, что мы заменяем на t. И вот как то "села" на этом)

показывайте решение, заочно сложно что-то сказать.