Дифференциальное уравнение

[everest]

\( y'+x^2 y-x^2=0 \)
\( dy=-x^2(y-1)dx \) поделим на \( y-1 \neq 0 \)

\( \frac{dy}{y-1}=-x^2 dx \)

\( \ln{|y-1|}+\frac{x^3}{3}=C \) общее решение

Я правильно решил?

[Nataniel]

да

[lu]

\( y'+x^2 y-x^2=0 \)
\( dy=-x^2(y-1)dx \) поделим на \( y-1 \neq 0 \)

\( \frac{dy}{y-1}=-x^2 dx \)

\( \ln{|y-1|}+\frac{x^3}{3}=C \) общее решение

Я правильно решил?

\( \frac{dy}{y-1}=-x^2 dx \)

\( \ln{|y-1|}=-\frac{x^3}{3}+\ln{c} \)

\( \ln{|y-1|}=\ln{c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}}} \)

\( y-1=c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}} \)

\( y=c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}}+1 \)

и можете проверку сделать:

\( y'=-x^2\cdot c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}}  \)
\( y'+x^2 y-x^2=-x^2\cdot c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}}+x^2\cdot(c\cdot e^{-\frac{x^3}{3}}+1)-x^2=0\equiv0 \)

[everest]

Я слышал, что могут потеряться какие то особые решения, объясните как узнать они теряются или нет?

[Nataniel]

Оно у вас и потеряно у(x)=1 - тоже решение

[lu]

это решение не является особым, потому что y=1 получается из общего решения при с=0

[everest]

У меня еще вопрос, любое уравнение на которое я делю, и которое не входит в общее, будет особым?

[Nataniel]

Оно не обязательно будет особым. Вот например в вашем случае - оно входит, но это не обязательно.

[everest]

А как тогда определить есть особое решение или нет?

Можете написать что-нибудь вроде алгоритма, шагов при решении, для определения особого решения?

[Nataniel]

А что вы понимаете под особым?
Если вы делите на что-то, предполагая что оно тождественно не равно нулю, то это стоит учесть. В конечном итоге вы получите несколько решений (от деления и от решения полученного диф.ур.), а вот тут то можно и посмотреть входят они в друг-друга или нет.

[everest]

А что вы понимаете под особым?

В учебнике написано, это те которые не могут быть получены из общего.

[lu]

да вы правильно думаете) если то решение не получается из общего при каком либо с, то оно является особым решением

[everest]

А вот может быть такое: я например поделил на уравнение, которое не входит в общее решение, может ли
это уравнение на которое я поделил не являться решением, или оно является решением в любом случае?

[lu]

...не помню, обычно говорят что при делении д(у) могут быть потеряны решения при д(у)=0, поэтому мы их отдельно проверяем. ) мне кажется почти всегда д(у)=0 является решением, но не всегда особым, может просто частным)) честно не помню про это